Progresiones Geométricas

Una progresión geométrica es una secuencia finita de números, en la cual, cada número (a excepción del primero) es igual al producto de su predecesor con una constante, a la que llamaremos razón de la progresión. Cuando la secuencia de números es infinita suele referirse a ella como una sucesión.

A continuacíon presentamos una secuencia de \(n\) números:

\[ 4, \quad 12, \quad 36, \quad 108, \quad 324, \quad \ldots \quad a_n \]

A cada par de números consecutivos se les conoce como antecedente y consecuente.

Si esta secuencia de números es una progresión geométrica, entonces el cociente de cada par de números consecutivos debe ser constante. Comprobaremos este razonamiendo con los cinco primeros términos de la secuencia:

\[ \left. \begin{array}{c} 4 \\ 12 \end{array} \right\} \frac{12}{4} = 3 \] \[ \left. \begin{array}{c} 12 \\ 36 \end{array} \right\} \frac{36}{12} = 3 \]

\[ \left. \begin{array}{c} 36 \\ 108 \end{array} \right\} \frac{108}{36} = 3 \] \[ \left. \begin{array}{c} 108 \\ 324 \end{array} \right\} \frac{324}{108} = 3 \]

En consecuencia la secuencia anterior es una progresión geométrica, y la razón de la progresión es: \(\boldsymbol{ r = 3 }\).

Ahora procederemos a ordenar los términos de la secuencia de acuerdo a su posición en la misma:

Posición	1	2	3	4	5	...	\(n\)
Término	4	12	36	108	324	...	\(a_n\)

Si \(a_n\) es cualquier término de la progresión en la posición \(n\), y \(r\) es la razón de la progresión, entonces se cumple que:

\[ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \]

Efectivamente, tomemos como ejemplo al término \(\boldsymbol{ a_5 = 324 }\). Tenemos que:

\(r = 3\)
\(a_1 = 4\)
\(n = 5\)

Se pide hallar \(a_n = a_5 \) .Reemplazamos estos valores en la fórmula:

\[ \begin{aligned} a_n &= a_1 \cdot r^{n-1} \\[1em] a_5 &= (4) \times \left( (3)^{(5) - 1} \right) \\[1em] &=(4) \times \left( 3^4 \right) \\[1em] &= (4) \times (81) \\[1em] &= \boldsymbol{324} \end{aligned} \]

El resultado coincide con el valor de \(a_5\) en la tabla.

Suma de una progresión geométrica

Sea \( S_n \) la suma de los \(n\) primeros términos de una progresión geométrica, se tiene que:

\[ S_n = \frac{ 1 - r^n }{ 1 - r } a_1 \]

En efecto, si sumamos los 5 primeros términos de la secuencia anterior obtenemos que el resultado es 484.

Ahora calculemos esta suma con la fórmula anterior. Se tiene que:

\(n = 5\)
\(a_1 = 4\)
\(r = 3\)

Buscamos hallar \( S_n = S_5 \), reemplazando los valores en la fórmula:

\[ \begin{aligned} S_5 &= \frac{1 - \left( (3)^{(5)} \right) }{ 1 - (3)} (4) \\[1em] &= \frac{1 - \left( 243 \right) }{ -2 } (4) \\[1em] &= \frac{ -242 }{ -2 } (4) \\[1em] &= (121) \times (4) \\[1em] &= \boldsymbol{484} \end{aligned} \]

Este resultado coincide con nuestro resultado inicial.