Problema 9

Problemas Resueltos - Razonamiento matemático

La suma de tres números en progresión aritmética es 30 y el producto de ellos es 510. El mayor de estos tres números es:

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Respuesta

Solución Paso a Paso

Sean estos números \(a_1\), \(a_2\) y \(a_3\). Sea \(d\) la razón de la progresión. De acuerdo a la lección «progresiones aritméticas», se tiene que:

\[ a_2 = a_1 + d, \]

\[ a_3 = a_1 + 2d \]

En consecuencia tenemos:

\( a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 30 \hspace{2em} \boldsymbol{(1)} \)

\( a_1 (a_1 + d) (a_1 + 2d) = 510 \hspace{3em} \boldsymbol{(2)} \)

De (1):

\[ 3 a_1 + 3d = 30 \Rightarrow a_1 + d = 10 \]

Entonces:

\[ a_1 = 10 – d \hspace{3em} \boldsymbol{(4)} \]

Reemplazando (4) en (2):

\[ \begin{aligned} &(10 – d) (10) (10 + d) = 510 \\[.5em] &\hspace{3em}\Rightarrow (10 – d) (10 + d) = 51 \\[.5em] &\hspace{3em}\Rightarrow 100 – d^2 = 51 \\[.5em] &\hspace{3em}\Rightarrow d^2 = 49 \\[.5em] &\hspace{3em}\Rightarrow d = 7 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} (10 – d) (10) (10 + d) = 510 &\Rightarrow (10 – d) (10 + d) = 51 \\[.5em] &\Rightarrow 100 – d^2 = 51 \\[.5em] &\Rightarrow d^2 = 49 \\[.5em] &\Rightarrow d = 7 \end{aligned} \]

Reempazando \(d = 7\) en (4):

\[ a_1 = 10 – 7 = 3 \]

Luego, el mayor de los trés números es:

\[ \begin{aligned} a_3 &= a_1 + 2d \\[.5em] &= 3 + 2(7) \\[.5em] &= \boldsymbol{17} \end{aligned} \]

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