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Problemas Resueltos - Razonamiento matemático

Problema 7

Si el radio de una circunferencia mide \(6 \, cm.\), entonces el perímetro del cuadrado inscrito en ella mide, en \(cm\):

  1. \(12 \sqrt{2}\)

  2. \(12\)

  3. \(24\)

  4. \(36\)

  5. \(24 \sqrt{2}\)

Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...

  1. \(24 \sqrt{2}\)

Solución

La diagonal del cuadrado es un diámetro de la circunferencia, el cual mide \(12 \, cm\).

Si \(L\) es el lado del cuadrado, entonces, por el teorema de Pitágoras:

\[ \begin{aligned} L^2 + L^2 = 12^2 &\Rightarrow 2 L^2 = 144 \\[.5em] &\Rightarrow L^2 = 72 \\[.5em] &\Rightarrow L = \sqrt{72} \\[.5em] &\hspace{2em} = \sqrt{3^2 \times 2^2 \times 2} \\[.5em] &\hspace{2em} = 3 \times 2 \times \sqrt{2} \\[.5em] &\hspace{2em} = 6 \sqrt{2} \end{aligned} \]

Si \(L\) es el lado del cuadrado, entonces, por el teorema de Pitágoras:

\[ \begin{aligned} L^2 + L^2 = 12^2 &\Rightarrow 2 L^2 = 144 \\[.5em] &\Rightarrow L^2 = 72 \\[.5em] &\Rightarrow L = \sqrt{72} \\[.5em] &\hspace{2em} = \sqrt{3^2 \times 2^2 \times 2} \\[.5em] &\hspace{2em} = 3 \times 2 \times \sqrt{2} \\[.5em] &\hspace{2em} = 6 \sqrt{2} \end{aligned} \]

Luego:

\[ \text{Perímetro} = 4L = 4 \left( 6 \sqrt{2} \right) = \boldsymbol{24 \sqrt{2}} \]

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