Problema 55

Problemas Resueltos - Razonamiento matemático

Se tiene la progresión geométrica \(x\), \(y\), \(z\). Se sabe que \(x\) es diferente de \(y\), que \(y\) es no nulo, y además, que \(x\), \(2y\), \(3z\) forman una progresión aritmética. El valor de la razón de la progresión geométrica es:

\( \frac{4}{3} \)
\( 1 \)
\( \frac{1}{3} \)
\( 2 \)
\( \frac{2}{3} \)

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Respuesta

\( \frac{1}{3} \)

Solución Paso a Paso

Sea \( r \) la razón geométrica y sea \( d \) la razón aritmética. De acuerdo a la lección Progresiones, tenemos que:

\( \boldsymbol{(1)} \hspace{2em} y = xr \)

\( \boldsymbol{(2)} \hspace{2em} z = xr^2 \)

\( \boldsymbol{(3)} \hspace{2em} 2y = x + d \)

\( \boldsymbol{(4)} \hspace{2em} 3z = x + 2d \)

Reemplazando \((1)\) en \((3)\) y \((2)\) en \((4)\):

\( \boldsymbol{(5)} \hspace{2em} 2xr = x + d \)

\( \boldsymbol{(6)} \hspace{2em} 3xr^2 = x + 2d \)

Multiplicando \( (5) \) por \(-2\):

\[ \boldsymbol{(7)} \hspace{2em} -4xr = -2x – 2d \]

Sumando \( (6) \) y \((7)\):

\[ \begin{aligned} 3xr^2 – 4xr = -x &\Rightarrow 3r^2 – 4r = -1 \hspace{2em} \text{(simplificando } x \text{)} \\[2em] &\Rightarrow 3r^2 – 4r + 1 = 0 \\[2em] &\Rightarrow r = \frac{ 4 \pm \sqrt{16 – 12} }{6} \\[2em] &\Rightarrow r = 1 \quad \text{ ó } \quad r = \frac{1}{3} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &3xr^2 – 4xr = -x \\[2em] &\hspace{2em} \Rightarrow 3r^2 – 4r = -1 \\[.5em] &\hspace{4em} \text{(simplificando } x \text{)} \\[2em] &\hspace{2em}\Rightarrow 3r^2 – 4r + 1 = 0 \\[2em] &\hspace{2em}\Rightarrow r = \frac{ 4 \pm \sqrt{16 – 12} }{6} \\[2em] &\hspace{2em}\Rightarrow r = 1 \quad \text{ ó } \quad r = \frac{1}{3} \end{aligned} \]

Como \( x \neq y \), por \((1)\) descartamos a \( r = 1 \) y nos quedamos con \( \boldsymbol{r = \frac{1}{3}} \).

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