Problema 32

Problemas Resueltos - Razonamiento matemático

Un valor de la constante \( k \) para que la función: \( f(x) = kx^2 + 2x + k \) (la ecuación \( kx^2 + 2x + k = 0 \) ) tenga una sola raíz, es:

Un valor de la constante \( k \) para que la función:

\[ \begin{aligned} &f(x) = kx^2 + 2x + k \\[.5em] &\hspace{3em} (\text{ la ecuación } kx^2 + 2x + k = 0) \end{aligned} \]

tenga una sola raíz, es:

\( -1 \)
\( i \)
\( -i \)
\( 4 \)
\( -4 \)

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Respuesta

\( -1 \)

Solución Paso a Paso

Según la lección «Funciones Cuadráticas», la ecuación \( ax^2 + bx + c = 0 \) tiene una sola raíz real si el discriminante es nulo. Esto es, si:

\[ b^2 – 4ac = 0 \]

En nuestro caso:

\[ a=k, \quad b = 2, \quad \text{ y } \quad c = k \]

Luego:

\[ \begin{aligned} b^2 – 4ac = 0 &\Rightarrow 2^2 – 4kk = 0 \\[.5em] &\Rightarrow 4 – 4k^2 = 0 \\[.5em] &\Rightarrow 4k^2 = 4 \\[.5em] &\Rightarrow k^2 = 1 \\[.5em] &\Rightarrow k = \pm 1 \end{aligned} \]

De las dos raíces tomamos \( \boldsymbol{ k = -1 } \), dado que es la que aparece entre las 5 opciones.

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