Problema 25

Problemas Resueltos - Razonamiento matemático

El décimo término de una progresión geométrica de 10 términos es 10 y la razón es 0.1. Entonces el tercer término es:

\( 10^8 \)
\( 10^9 \)
\( 10^{10} \)
\( 10^{11} \)
\( 10^3 \)

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Respuesta

\( 10^8 \)

Solución Paso a Paso

De acuerdo a la lección «Progresiones Geométricas», tenemos que:

\[ a_n = a_1 r^{n-1} \Rightarrow a_1 = \frac{a_n}{r^{n – 1}} \]

En nuestro caso, \( r = 0.1 \), \( n = 10 \) y \( a_{10} = 10 \). Luego:

\[ \begin{aligned} a_1 &= \frac{10}{ (0.1)^9 } \\[1em] &= \frac{ 10 }{ \left( \frac{1}{10} \right)^9 } \\[1em] &= \frac{10}{ \frac{1}{10^9} } \\[1em] &= 10 \times 10^9 \\[1em] &= 10^{10} \end{aligned} \]

Ahora:

\[ \begin{aligned} a_3 &= a_1 r^{3 – 1} \\[.5em] &= 10^{10} (0.1)^2 \\[.5em] &= 10^{10} \left( \frac{1}{10} \right)^2 \\[.5em] &= 10^{10} \left( \frac{1}{10^2} \right) \\[.5em] &= 10^{10 – 2} \\[.5em] &= \boldsymbol{10^8} \end{aligned} \]

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