Problema 23

Problemas Resueltos - Razonamiento matemático

En el cuadrado \(\square ABCD \), \(E\) y \(F\) son puntos medios. La razón entre el área del trapecio \(AFCD \) y el área del triángulo \( \triangle FEC \), es:

\( 0.75 \)
\( 1.33 \)
\( 0.125 \)
\( 6 \)
\( 4 \)

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Respuesta

\( 6 \)

Solución Paso a Paso

Sea \(L\) el lado del cuadrado. Las bases \(B\) y \(b\), y altura \(h\) del trapecio \( AFCD\) son las siguientes:

\[ B = L, \quad b = \frac{L}{2} \quad \text{ y } \quad h = L \]

Luego, según la lección «Propiedades del Triángulo», su área es:

\[ \begin{aligned} A_1 &= \frac{ (B + b) }{2} \\[.5em] &= \frac{ \left( \frac{L}{2} + L\right) L }{ 2 } \\[.5em] &= \frac{ (L + 2L) L }{4} \\[.5em] &= \frac{3L^2}{4} \end{aligned} \]

La base \(b\) y la altura \(h\) del triángulo es, respectivamente:

\[ b = \frac{L}{2} \quad \text{ y } \quad h = \frac{L}{2} \]

Luego, su área es:

\[ \begin{aligned} A_2 &= \frac{b \times h}{2} \\[.5em] &= \frac{ \frac{L}{2} \times \frac{L}{2} }{2} \\[.5em] &= \frac{ \frac{L^2}{4} }{2} \\[.5em] &= \frac{L^2}{8} \end{aligned} \]

La razón entre las áreas es:

\[ \begin{aligned} \frac{A_1}{A_2} &= \frac{ \frac{3 L^2}{4} }{ \frac{L^2}{8} } \\[1em] &= \frac{8 \left( 3L^2 \right)}{4 L^2} \\[1em] &= \frac{24}{4} \\[1em] &= \boldsymbol{6} \end{aligned} \]

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