Problema 20

Problemas Resueltos - Razonamiento matemático

Considere la función cuya regla de correspondencia es \( f(x) = x^3 - x \). Si la recta cuya ecuación es \( y = mx + n \) corta al gráfico de esta función en los puntos \( ( 0, \, f(0) ) \) y \( ( 1, \, f(1) ) \), entonces los valores de \( m \) y \( n \) son, respectivamente:

ambos positivos
ambos negativos
ambos nulos
\(m\) nulo y \(n\) no nulo
\(m\) no nulo y \(n\) nulo

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Respuesta

ambos nulos

Solución Paso a Paso

Tenemos que:

\[ f(0) = 0^3 – 0 = 0 \]

\[ f(1) = 1^3 – 1 = 0 \]

Luego, los puntos de intersección son \(( 0, \, 0 )\) y \( (1, \, 0) \). Las coordenadas de estos puntos deben satisfacer la ecuación de la recta. Luego:

\[ \begin{aligned} &0 = m(0) + n \quad \text{ y } \quad 0 = m(1) + n \\[.5em] &\hspace{3em} \Rightarrow 0 = n \quad \text{ y } \quad 0 = m + n \\[.5em] &\hspace{3em}\Rightarrow \boldsymbol{ n = 0 \quad \text{ y } \quad m = 0 } \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 0 = m(0) + n \quad \text{ y } \quad 0 = m(1) + n &\Rightarrow 0 = n \quad \text{ y } \quad 0 = m + n \\[.5em] &\Rightarrow \boldsymbol{ n = 0 \quad \text{ y } \quad m = 0 } \end{aligned} \]

En consecuencia, ambos son nulos.

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