Problemas Resueltos - Razonamiento matemático
Problema 189
En la figura, los segmentos \( \overline{BC} \), \( \overline{DE} \) y \( \overline{FG} \) son paralelos. Ademas se cumple que:
\[ \frac{ \overline{AB} }{\overline{AD} } = \frac{ 2 \overline{AD} }{ \overline{FG} } = \frac{2}{3} \]Si \( \overline{BC} = 10 \, m \) ¿Cuales son las medidas, en metros, de los segmentos \( \overline{DE} \) y \( \overline{FG} \)?
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20 y 40
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15 y 45
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30 y 45
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15 y 30
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30 y 60
Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
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15 y 45
Como \( \overline{BC} \parallel \overline{DE} \), por la lección ángulos, los ángulos de las bases de los triángulos \( \triangle ABC \) y \( \triangle ADE \) son congruentes.
Por el Critero AA, los triángulos antes mencionados son semejantes. En consecuencia:
\[ \frac{ \overline{AB} }{ \overline{AD} } = \frac{ \overline{BC} }{ \overline{DE} } \]Pero, \( \frac{ \overline{AB} }{ \overline{AD} } = \frac{ 2 }{ 3 } \). Luego:
Esto es, \( \overline{DE} = \boldsymbol{15 \, m} \)
Similarmente, por ser \( \overline{DE} \parallel \overline{FG} \), los triángulos \( \triangle ADE \) y \( \triangle AFG \) son semejantes. Por lo tanto:
\[ \frac{ \overline{AD} }{ \overline{AF} } = \frac{ \overline{DE} }{ \overline{FG} } \]Pero,
\[ \frac{ 2 \overline{AD} }{ \overline{FG} } = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{ \overline{AD} }{ \overline{FG} } = \frac{1}{3} \]Luego:
\[ \begin{aligned} \frac{ \overline{DE} }{ \overline{FG} } = \frac{1}{3} &\Rightarrow \overline{FG} = 3\overline{DE} \\[1em] &\Rightarrow \overline{FG} = 3(15) = \boldsymbol{45 \, m.} \end{aligned} \]