Problemas Resueltos - Razonamiento matemático
Problema 187
En la figura se tiene un cuadrado inscrito en un círculo, cuyo diámetro es \( 20 \, cm \) . ¿Cuál es el perímetro de la región sombreada?
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\( 40 \left( \pi + \sqrt{2} \right) \)
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\( 40 \left( \pi - 2 \right) \)
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\( 20 \left( \pi + 2 \sqrt{2} \right) \)
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\( 20 \left( \pi - 2 \right) \)
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\( 40 \left( \pi - \sqrt{2} \right) \)
Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
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\( 20 \left( \pi + 2 \sqrt{2} \right) \)
Sea \( P \) el perímetro de la región sombreada, \( P_1 \) el perímetro de la circunferencia y \( P_2 \) el perímetro del cuadrado. Se tiene que:
\[ \boldsymbol{(1)} \hspace{3em} P = P_1 + 2 \]El radio de la circunferencia mide \( 10 \, cm \). Luego:
\[ \boldsymbol{ (2) } \hspace{2em} P_1 = 2 \pi (10) = 20 \pi \]Por otro lado, sea \(L\) el lado del cuadrado. Consideremos el triángulo rectángulo de la figura adjunta, con hipotenusa igual al diámetro, y los dos catetos iguales a \( L \).
Aplicando el teorema de Pitágoras se tiene:
\[ \begin{aligned} L^2 + L^2 = 20^2 &\Rightarrow 2 L^2 = 400 \\[1em] &\Rightarrow L^2 = 200 \\[1em] &\Rightarrow L = \sqrt{200} \\[1em] &\Rightarrow 10 \sqrt{2} \end{aligned} \]Luego:
\[ \boldsymbol{ (3) } \hspace{2em} P_2 = 4L = 4 \left( 10 \sqrt{2} \right) = 40 \sqrt{2} \]Finalmente, reemplazando (2) y (3) en (1):
\[ \begin{aligned} P &= 20 \pi + 40 \sqrt{2} \\ &= \boldsymbol{ 20 \left( \pi + 2 \sqrt{2} \right) } \end{aligned} \]