Problemas Resueltos - Razonamiento matemático
Problema 174
¿Cuál es el conjunto solución de la siguiente inecuación?
\[ \frac{ x^2 + x }{ 6 + x - x^2 } \geq 0 \]-
\( (-\infty, -2) \cup [ -1, \, 0 ] \cup ( 3, + \infty ) \)
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\( (-\infty, -2) \cup ( -1, \, 2 ) \cup ( 3, + \infty ) \)
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\( (-2, -1) \cup ( 0, \, 3 ) \)
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\( (-2, -1] \cup [0, \, 3 ) \)
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\( (-\infty, -2) \cup (3 , + \infty) \)
Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
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\( (-2, -1] \cup [0, \, 3 ) \)
Para resolver esta inecuación, emplearemos el llamado «método de Horner», que enunciamos a continuación:
Método de Horner
Si \( P(x) \) y \( Q(x) \) son polinomios, para resolver una inecuación de la forma que veremos a continuación:
se deben seguir los siguientes pasos:
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Se hallan las raíces de \( P(x) = 0 \) y \( Q(x) = 0 \).
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Se marcan, en la recta numérica, las raíces halladas en el paso 1.
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Se toma un número \( \alpha \) que sea menor que todas las raíces halladas, y se encuentra el signo de \( \frac{P( \alpha )}{ Q( \alpha ) } \). Este signo corresponde al primer intervalo.
A partir de aquí, en los intervalos siguientes, los signos se alternan.
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Se escogen los intervalos según los signos, y se toma la unión de ellos. Si la desigualdad viene expresada mediante \( > \) ó \( > \), todos los intervalos que conforman la solución son abiertos.
Si la desigualdad viene expresada en términos de \( \leq \) ó \( \geq \), los intervalos que conforman la solución son cerrados en los extremos que correspondan a las raíces del numerador, y abiertos en los extremos correspondientes a las raíces del denominador.
Ahora procedemos a resolver la inecuación: \( \frac{x^2 + x}{6 + x – x^2} \geq 0 \).
Paso 1
Empezamos con \( P(x) \):
\[ P(x) = x^2 + x = x(x + 1) \]Luego,
\[ \begin{aligned} P(x) = 0 &\Rightarrow x (x + 1) = 0 \\[1em] &\Rightarrow \boldsymbol{x = 0} \; \text{ ó } \; \boldsymbol{x = -1} \end{aligned} \]Ahora, con \( Q(x) \):
\[ \begin{aligned} Q(x) = 6 + x – x^2 &= – \left( x^2 -x -6 \right) \\ &= -(x – 3) (x + 2) \end{aligned} \]Luego,
\[ \begin{aligned} Q(x) = 0 &\Rightarrow -(x – 3)(x + 2) = 0 \\[1em] \\[1em] &\Rightarrow x – 3 = 0 \; \text{ ó } \; x + 2 = 0 \\[1em] &\Rightarrow \boldsymbol{ x = 3 } \quad \text{ ó } \quad \boldsymbol{ x = -2 } \end{aligned} \]Las raíces (ordenadas) son: \( \boldsymbol{ -2 } \), \( \boldsymbol{ -1 } \), \( \boldsymbol{ 0 } \) y \( \boldsymbol{ 3} \).
Paso 2
Paso 3
Tomamos \( \alpha < -2 \). Así, por ejemplo, \( \alpha = -4 \).
Se tiene que:
\[ \begin{aligned} \frac{ P( \alpha ) }{ Q( \alpha ) } &= \frac{ (-4)^2 + (-4)}{ 6 + (-4) – (-4)^2 } \\[1em] &= \frac{+12}{-14} \\[1em] &= -\frac{12}{14} \end{aligned} \]Luego, el signo de \( \frac{x^2 + x}{6 + x – x^2} \) es negativo (-) en el primer intervalo \( (-\infty, -2) \).
Los signos en los demás intervalos son los siguientes:
Paso 4
La inecuación viene planteada en términos de \( \geq \). Luego, el conjunto solución está conformado por la unión de los intervalos donde el signo es positivo (+).
\[ \boldsymbol{ (-2, -1] \cup [0, \,3) } \]Observar que los intervalos son cerrados en los extremos que corresponden a raíces del numerador, y abiertos en los extremos que corresponden a raíces del denominador.