Problemas Resueltos - Razonamiento matemático
Problema 165
En la figura, se tiene la circunferencia de centro O, inscrita en el triángulo \( \triangle ABC \).
Si \( \overline{AB} = 8 \, cm \), \( \overline{BC} = 7 \, cm \) y \( \overline{AC} = 11 \, cm \), entonces el cociente \( \frac{ \overline{AD} }{ \overline{CD} } \) es igual a:
-
\( \frac{3}{2} \)
-
\( 3 \)
-
\( \frac{2}{3} \)
-
\( \frac{1}{2} \)
-
\( \frac{6}{5} \)
Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
-
\( \frac{6}{5} \)
Sean:
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\( a = \overline{AD} \)
-
\( b = \overline{BE} \)
-
\( c = \overline{CD} \)
Por ser los lados del triángulo tangentes a la circunferencia, tenemos que:
De \( \overline{AB} = 8 \, cm \), \( \overline{BC} = 7 \, cm \) y \( \overline{AC} = 11 \, cm \), se tiene:
\(\text{(1) } \hspace{2em} a + b = 8 \)
\(\text{(2) } \hspace{2em} b + c = 7 \)
\(\text{(3) } \hspace{2em} a + c = 11 \)
Sumando las tres ecuaciones:
Restando la ecuación (1) de la (4), y la (2) de la (4), obtenemos que \( c = 5 \) y \( a = 6 \).
En consecuencia:
\[ \frac{ \overline{AD} }{ \overline{CD} } = \frac{a}{c} = \boldsymbol{ \frac{6}{5} } \]