Problemas Resueltos - Razonamiento matemático
Problema 157
Si \( x \) es par, entonces, de las siguientes expresiones, la única que es impar es:
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\( x^3 + 2 \)
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\( 5x + 4 \)
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\( x^2 + x + 6 \)
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\( 2x^2 + 1 \)
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\( 4x + 2 \)
Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
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\( 2x^2 + 1 \)
Recordemos que:
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Un número \( \boldsymbol{a} \) es par si existe un entero \( \boldsymbol{n} \) tal que \( \boldsymbol{a = 2n} \).
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Un número \( \boldsymbol{a} \) es impar si existe un entero \( \boldsymbol{n} \) tal que \( \boldsymbol{a = 2n + 1} \).
Sabemos que \( x \) es par. Esto significa que existe un entero \( n \) tal que \( x = 2n \)
Veamos que \( 2x^2 + 1 \) es impar:
\[ \begin{aligned} 2x^2 + 1 &= 2(2n)^2 + 1 \\ &= 2\left( 4n^2 \right) + 1 \\ &= 2m + 1 \; \text{ (donde } m = 4n^2 \text{)} \end{aligned} \]Luego, \( 2x^2 + 1 \) es impar.
Veamos que las otras expresiones no son impares, es decir, son pares. Con ánimo de simplificar, probaremos este resultado para la opción c (\( x^2 + x + 6 \)). Para las otras tres se procede de forma similar.
Luego, \( x^2 + x + 6 \) es par.