Problemas Resueltos - Razonamiento matemático
Problema 140
En la figura, las rectas \( R_1 \) y \( R_2 \) son paralelas y \( \frac{ \overline{AB} }{ \overline{DE} } = \frac{2}{3} \).
¿Cual es la razón entre las áreas de los triángulos \( \triangle DEF \) y \( \triangle ABC \)?
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\( \frac{2}{3} \)
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\( \frac{3}{2} \)
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\( 1 \)
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\( \frac{5}{3} \)
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\( \frac{3}{5} \)
Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
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\( \frac{3}{2} \)
De \( \frac{ \overline{AB} }{\overline{DE} } = \frac{2}{3} \), obtenemos que:
\[ \frac{ \overline{DE} }{\overline{AB} } = \frac{3}{2} \]Los dos triángulos, por estar comprendidos entre las dos rectas paralelas, tienen igualaltura, a la que llamaremos \( \boldsymbol{h} \).
Si \( A_1 \) y \( A_2 \) son las áreas de los triángulos \( \triangle DEF \) y \( \triangle ABC \), respectivamente, entonces:
\[ A_1 = \frac{ \overline{DE} \times h }{2} \quad \text{ y } \quad A_2 = \frac{ \overline{AB} \times h }{2} \]Luego:
\[ \begin{aligned} \frac{A_1}{A_2} &= \frac{ \frac{ \overline{DE} \times h }{2} }{ \frac{ \overline{AB} \times h }{2} } \\[1em] &= \frac{ \overline{DE} \times h }{ \overline{AB} \times h } \\[1em] &= \frac{ \overline{DE} }{ \overline{AB} } = \frac{3}{2} \end{aligned} \]Esto es:
\[ \frac{A_1}{A_2} = \boldsymbol{ \frac{3}{2} } \]