Problemas Resueltos - Razonamiento matemático
Problema 128
Se tiene una función con la siguiente regla de correspondencia:
\[ f(x) = 3x^2 - 6x + 1 \]Dicha función alcanza un valor mínimo en el punto:
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\( (1, -2) \)
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\( ( 1, \, 2 ) \)
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\( ( 0, \, 1 ) \)
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\( ( 0, -1 ) \)
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\( ( -1, \, 2 ) \)
Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
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\( (1, -2) \)
En la lección Funciones Cuadráticas, se establece que \( f(x) = 3x^2 -6x + 1 \) es una función cuadrática por ser de la forma:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c, \]cuyo gráfico es una parábola. Además, como el coeficiente \( a = 3 \) es mayor que 0, la parábola abre hacia arriba, y la función tiene su mínimo en el vértice \( V \), el cual está dado por:
\[ V = \left( -\frac{ b }{ 2a }, \, – \frac{ b^2 – 4ac }{ 4a } \right) \]En nuestro caso, \( a = 3 \), \( b = -6 \) y \( c = 1 \). Luego:
\[ \begin{aligned} V &= \left( – \frac{ -6 }{ 2 \times 3 }, \, – \frac{ (-6)^2 – ( 4 \times 3 \times 1 ) }{ 4 \times 3 } \right) \\[2em] &= \left( – \frac{ -6 }{ 6 }, \, – \frac{ 36 – 12 }{ 12 } \right) \\[2em] &= \boldsymbol{ (1, -2) } \end{aligned} \]