Problemas Resueltos - Razonamiento matemático
Problema 112
La suma de dos veces el inverso de un número, con tres veces el inverso de otro número, es trece. La diferencia de tres veces el inverso del primer número y dos veces el inverso del segundo, es cero. Entonces el producto de ambos números es:
-
\( \frac{5}{6} \)
-
\( \frac{2}{5} \)
-
\( 6 \)
-
\( 5 \)
-
\( \frac{1}{6} \)
Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
-
\( \frac{1}{6} \)
Sean \( x \) e \( y \) los dos números. Sus inversos son:
\[ \frac{1}{x} \quad \text{ y } \quad \frac{1}{y} \]De acuerdo al enunciado se tiene que:
\[ \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 13, \quad \frac{3}{x} – \frac{2}{y} = 0 \]Entonces:
\( \boldsymbol{(1)} \hspace{2em} 2y + 3x = 13 xy \)
\( \boldsymbol{(2)} \hspace{2em} 3y – 2x = 0 \)
De \((2)\) se obtiene:
\[ \boldsymbol{(3)} \hspace{2em} y = \frac{2}{3} x \]Reemplazando \((3)\) en \((1)\):
Como \(x\) tiene inverso, \(x \neq 0 \), por lo tanto:
\[ x = \frac{1}{2} \]Reemplazando esta última igualdad en \((3)\):
\[ y = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} \right) \Rightarrow y = \frac{1}{3} \]Por último:
\[ xy = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \boldsymbol{ \frac{1}{6} } \]