Problemas Resueltos - Razonamiento matemático
Problema 107
Si el mayor de dos números se divide entre el menor, el cociente es 3 y el resto es 3. Si el triple del mayor se divide entre el menor, el cociente es 10 y el resto es 4. Entonces el triple de la suma de ambos números es:
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60
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69
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57
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23
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117
Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
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69
Sea \(x\) el número mayor, y sea \(y\) el número menor. Considerando que para tener una división exacta se le resta el residuo al dividendo, se tiene que:
\[ \frac{x – 3}{y} = 3, \quad \frac{3x – 4}{y} = 10 \]Entonces:
\( \boldsymbol{(1)} \hspace{2em} x = 3y + 3 \)
\( \boldsymbol{(2)} \hspace{2em} 3x = 10y + 4 \)
Resolvemos el sistema de ecuaciones. Multiplicamos a \((1)\) por \(-3\):
\[ \boldsymbol{(3)} \hspace{2em} -3x = -9y – 9 \]Sumamos \((2)\) y \((3)\):
\[ 0 = y – 5 \Rightarrow y = 5 \]Reemplazando esta última igualdad en \((1)\):
\[ x = 15 + 3 \Rightarrow x = 18 \]Luego:
\[ \begin{aligned} 3(x + y) &= 3(18 + 5) \\[1em] &= 3(23) = \boldsymbol{69} \end{aligned} \]