Funciones de nuevas funciones conocidas

Usando la gráfica de \(f(x)=x^3\), bosquejar los gráficos de:
1. \[ y = x^3 - 3 \]
2. \[ y = (x -1)^3 \]
3. \[ y = -x^3 + 1 \]
4. \[ y = -(x-1)^3 + 1 \]
Usando la gráfica de \(f(x)=\cfrac{1}{x}\), bosquejar los gráficos de:
1. \[ y = \frac{1}{x} -2 \]
2. \[ y = \frac{1}{x-2} \]
3. \[ y = - \frac{1}{x} \]
4. \[ y = \frac{1}{x-2} +5 \]
Usando la gráfica de \( y = \left[ \! [ x ]\! \right] \), bosquejar el gráfico de:
1. \[ y = - \left[ \! [ x ]\! \right] \]
2. \[ y = \left[ \! [ 2x ]\! \right] \]
3. \[ y = \frac{1}{2} \left[ \! [ x ]\! \right] \]
Utilizando la gráfica de la función \(y=\text{sen} x\) y las técnicas de traslación y reflexión, graficar la función \(y=1- \text{sen}(x - \frac{\pi}{2})\)
Considerando la gráfica \(y= \cos x\):
1. Usando las técnicas de la transformación de gráficas, bosquejar la gráfica de \( y = -3\cos 4x\).
2. ¿Cuál es el periodo de \(y = -3\cos 4x\)?

En los problemas 6, 7 y 8 hallar \(\boldsymbol{f+g,\; f-g,\; fg}\) y \(\boldsymbol{f/g}\) con sus dominios.

\[ f(x) = \cfrac{1}{1-x},\quad g(x) = \sqrt{2-x} \]
\[ f(x) = \sqrt{16-x^2},\quad g(x) = \sqrt{x^2-4} \]

\[ \begin{aligned} &f(x) = \sqrt{16-x^2}, \\[1em] &g(x) = \sqrt{x^2-4} \end{aligned} \]
\[ f(x) = \cfrac{1}{\sqrt{4-x^2}},\quad g(x) = \sqrt[3]{x} \]

En los problemas 9, 10 y 11 hallar el dominio de la función dada.

\[ f(x) = \sqrt{4-x} + \sqrt{x-4} \]
\[ f(x) = \sqrt{-x} + \cfrac{1}{\sqrt{x+2}} \]
\[ g(x) = \cfrac{ \sqrt{3-x} + \sqrt{x+2} }{ x^2-9 } \]

En los problemas del 12 al 16 hallar \(\boldsymbol{f \circ g,\,g \circ f,\,f \circ f}\) y \(\boldsymbol{g \circ g}\), con sus respectivos dominios.

\[ f(x) = x^2-1,\; g(x) = \sqrt{x} \]
\[ f(x) = x^2,\; g(x) = \sqrt{x-4} \]
\[ f(x) = x^2-x,\; g(x) = \cfrac{1}{x} \]
\[ f(x) = \cfrac{1}{1-x},\; g(x) = \sqrt[3]{x} \]
\[ f(x) = \sqrt{x^2-1},\; g(x) = \sqrt{1-x} \]

En los problemas 17 y 18 hallar \(\boldsymbol{f \circ g \circ h}\).

\(f(x) = \sqrt{x}\), \(g(x) = \cfrac{1}{x}\), \(h(x) = x^2-1\)
\(f(x) = \sqrt[3]{x}\), \(g(x) = \cfrac{x}{1+x}\), \(h(x) = x^2-x\)
Si \(f(x)=\cfrac{1}{1-x}\), hallar, con su respectivo dominio, \(f \circ f \circ f\).

En los problemas del 20 al 23 hallar dos funciones \(\boldsymbol{f}\) y \(\boldsymbol{g}\) tales que \(\boldsymbol{F=f \circ g}\).

\[ F(x) = \cfrac{1}{1+x} \]
\[ F(x) = -3 + \sqrt{x} \]
\[ F(x) = \sqrt[3]{ (2x-1)^2 } \]
\[ F(x) = \cfrac{1}{ \sqrt{ x^2 - x + 1 } } \]

En los problemas 24, 25 y 26 hallar \(\boldsymbol{f,\, g}\) y \(\boldsymbol{h}\) tales que:

\[ \boldsymbol{ F= f \circ g \circ h } \]

\[ F(x) = \frac{x^2}{1+x^2} \]
\[ F(x) = \sqrt[3]{ x^2 + \mid x \mid + 1 } \]
\[ F(x) = \sqrt[4]{ \sqrt{x} - 1 } \]
Si \(f(x)=2x+3\) y \(h(x)=2x^2-4x+5\), hallar una función \(g\) tal que \(f \circ g=h\).
Si \(f(x)=x-3\) y \(h(x)=\cfrac{1}{x-2}\), hallar una función \(g\) tal que \(g \circ f= h\).

Ver Respuestas

Respuestas

Sección 4.3

1. \(y = x^3 – 3\)
2. \(y = (x – 1)^3\)
3. \(y = -x^3 + 1\)
4. \(-y = (x – 1)^3 + 1\)
1. \(y = \cfrac{1}{x} – 2\)
2. \(y = \cfrac{1}{x-2}\)
3. \(y = – \cfrac{1}{x}\)
4. \(y = \cfrac{1}{x – 2} + 5\)
1. \(y = – \lfloor x \rfloor\)
2. \(y = \lfloor 2x \rfloor\)
3. \(y = \cfrac{1}{2} \lfloor x \rfloor \)
2. periodo \(= \cfrac{2 \pi}{4} = \cfrac{\pi}{2}\)
\(\text{Dom}(f + g) = \text{Dom}(f – g)\) \(= \text{Dom}(fg) = (-\infty, \, 1) \cup (1, \, 2]\),

\(\text{Dom}\left( \frac{f}{g} \right) = ( – \infty, \, 1 ) \cup (1, \, 2 )\)
\(\text{Dom}(f + g) = \text{Dom}(f – g)\) \(= \text{Dom}(fg) = [-4, \, -2] \cup [2, \, 4],\)

\(\text{Dom}\left( \frac{f}{g} \right) = [-4, \, -2)\) \(\cup (2, \, 4]\)
\(\text{Dom}(f + g) = \text{Dom}(f – g)\) \(= \text{Dom}(fg) = (-2, \, 2)\),

\(\text{Dom}\left( \frac{f}{g} \right) = (-2, \, 2) – \{ 0 \}\)
\(\text{Dom}(f) = 4\)
\(\text{Dom}(f) = (-2, \, 0]\)
\(\text{Dom}(g) = [-2, \, 3 )\)
\((f \circ g)(x) = x – 1\), \(\text{Dom}(f \circ g) = [0, \, +\infty)\)

\((g \circ f)(x) = \sqrt{ x^2 – 1 }\), \(\text{Dom}(g \circ f) = (-\infty, \, -1] \cup [1, \, +\infty)\)

\((f \circ f)(x) = x^4 – 2x^2\), \(\text{Dom}(f \circ f) = \mathbb{R}\)

\((g \circ g)(x) = \sqrt[4]{x}\), \(\text{Dom}(g \circ g) = [0, \, +\infty)\)
\((f \circ g)(x) = x – 4\), \(\text{Dom}(f \circ g) = [4, \, +\infty)\),

\((g \circ f)(x) = \sqrt{ x^2 – 4 }\), \(\text{Dom}(g \circ f) = (-\infty, \, -2] \cup [2, \, +\infty)\)

\((f \circ f)(x) = x^4\), \(\text{Dom}(f \circ f) = \mathbb{R}\)

\((g \circ g)(x) = \sqrt{ \sqrt{x – 4} – 4 }\), \(\text{Dom}(g \circ g) = [20, \, +\infty)\)
\((f \circ g)(x) = \cfrac{1}{x^2} – \cfrac{1}{x}\), \(\text{Dom}(f \circ g) = \mathbb{R}- \{ 0 \}\)

\((g \circ f)(x) = \cfrac{1}{x^2 – x}\), \(\text{Dom}(g \circ f) = \mathbb{R} – \{ 0, \, 1 \}\)

\((f \circ f)(x) = x^4 – 2x^3 + x\), \(\text{Dom}(f \circ f) = \mathbb{R}\)

\((g \circ g)(x) = x\), \(\text{Dom}(g \circ g) = \mathbb{R} – \{ 0 \}\)
\((f \circ g)(x) = \cfrac{ 1 }{1 – \sqrt[3]{x}}\), \(\text{Dom}(f \circ g) = \mathbb{R} – \{ 1 \}\)

\((g \circ f)(x) = \cfrac{1}{\sqrt[3]{ 1 – x }}\), \(\text{Dom}(g \circ f) = \mathbb{R} – \{ 1 \}\)

\((f \circ f)(x) = \cfrac{x – 1}{x}\), \(\text{Dom}(f \circ f) = \mathbb{R} – \{ 0, \, 1\}\)

\((g \circ g)(x) = \sqrt[9]{x}\), \(\text{Dom}(g \circ g) = \mathbb{R}\)
\((f \circ g)(x) = \sqrt{-x}\), \(\text{Dom}(f \circ g) =(-\infty, \, 0]\)

\((g \circ f)(x) = \sqrt{ 1 – \sqrt{ x^2 – 1 } }\), \(\text{Dom}(g \circ f) = \left[ -\sqrt{2}, \, -1 \right]\) \(\cup \left[ 1, \, \sqrt{2} \right] \)

\((f \circ f)(x) = \sqrt{x^2 – 2}\), \(\text{Dom}(f \circ f) = \left( -\infty, \, -\sqrt{2} \right]\) \(\cup \left[ \sqrt{2}, \, +\infty \right)\)

\((g \circ g)(x) = \sqrt{ 1 – \sqrt{ 1 – x } }\), \(\text{Dom}(g \circ g) = [0, \, 1]\)
\[ (f \circ g \circ h)(x) = \sqrt{ \frac{1}{x^2 – 1} } \]
\[ (f \circ g \circ h)(x) = \sqrt[3]{ \frac{x^2 – x}{ x^2 – x + 1 } } \]
\((f \circ f \circ f)(x) = x, \) \(\text{Dom}(f \circ f \circ f) = \mathbb{R}- \{ 0, \, 1 \}\)
\[ f(x) = \frac{1}{x}, \, g(x) = 1 + x \]
\[ f(x) = x-3, \, g(x) = \sqrt{x} \]
\[ f(x) = \sqrt[3]{x}, \, g(x) = (2x – 1)^2 \]
\[ f(x) = \frac{1}{x}, \, g(x) = \sqrt{ x^2 – x + 1 } \]
\(f(x) = \cfrac{1}{x + 1}\), \(g(x) = \cfrac{1}{x}\), \(h(x) = x^2\)
\(f(x) = \sqrt[3]{x}\), \(g(x) = x + 1\), \(h(x) = x^2 + \mid x \mid\)
\(f(x) = \sqrt[4]{x}\), \(g(x) = x – 1\), \(h(x) = \sqrt{x}\)
\[ g(x) = x^2 – 2x + 1 \]
\[ g(x) = \frac{1}{x + 1} \]