Precálculo Sec. 3.5

La ecuacion general de segundo grado. Rotación de ejes

En los problemas del 1 al 3 se dan las coordenadas de un punto en el sistema XY. Los ejes son rotados según el ángulo indicado. Hallar las coordenadas del punto en el sistema X\('\)Y\('\).

\[ \left( 1, {-\sqrt{3}} \right),\,60^{\circ} \]
\[ (-2, 6),\,45^{\circ} \]
\[ \left( {-2\sqrt{3}}, 4 \right),\,30^{\circ} \]

En los problemas del 4 y 5 se dan las coordenadas de un punto en el sistema X\('\)Y\('\) el cual se obtuvo al rotar el sistema XY según ángulo indicado. Hallar las coordenadas del punto en el sistema XY.

\[ \left( {2-\sqrt{3}},\,{-1-2\sqrt{3}} \right),\, 60^{\circ} \]
\[ \left( -3+{\frac{3\sqrt{2}}{2}},\, -3-{\frac{3\sqrt{2}}{2}} \right),\,45^{\circ} \]

En los problemas del 6 y 7 hallar la ecuación transformada cuando los ejes XY giran en el ángulo indicado. Identificar la cónica.

\[ 2xy=-1, \; \frac{\pi}{4} \text{ rad} \]
\[ x^2+4\sqrt{3}xy-3y^2=30, \; \frac{ \pi}{6} \text{ rad} \]

En los problemas del 8 y 9 use el discriminante para identificar la cónica. Use una rotación de ejes para eliminar el término en \(\boldsymbol{xy}\) y hallar la ecuación transformada y graficarla.

\[ 2x^2+\sqrt{3}xy+y^2=5 \]
\[ 9x^2+12xy+4y^2+2\sqrt{13}x-3\sqrt{13}y=0 \]

\[ \begin{aligned} 9x^2+12xy+4y^2&+2\sqrt{13}x \\[1em] &-3\sqrt{13}y=0 \end{aligned} \]
Sea la ecuación: \(13x^2 -8xy + 7y^2 - 45 = 0\)
1. Mediante una rotación de ejes verifique que la gráfica de la ecuación es una elipse.
2. Hallar los vértices en las coordenadas X\('\)Y\('\) y en las coordenadas XY.
3. Hallar los focos en las coordenadas X\('\)Y\('\) y en las coordenadas XY.
4. Hallar la recta que contiene al eje mayor en las coordenadas XY.
5. Hallar la recta que contiene al eje menor en las coordenadas XY.
Sea la ecuación: \(4x^2 -24xy + 11y^2 + 56x - 58y + 95 = 0\)

Sea la ecuación:

\[ \begin{aligned} 4x^2 -24xy + 11y^2 &+ 56x \\[1em] &- 58y + 95 = 0 \end{aligned} \]
1. Mediante una rotación de ejes verifique que la gráfica de la ecuación es una hipérbola.
2. Hallar el centro y los vértices en las coordenadas X\('\)Y\('\) y en las XY.
3. Hallar los focos en las coordenadas X\('\)Y\('\) y en las coordenadas XY.

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Respuestas

\[ \left( -1, \, -\sqrt{3} \right) \]
\[ \left( 2 \sqrt{2}, \, 4 \sqrt{2} \right) \]
\[ \left( -1, \, 3 \sqrt{3} \right) \]
\[ (4, \, -2) \]
\[ \left( 3, \, -3 \sqrt{2} \right) \]
\[ {y’}^2 – {x’}^2 = 1, \; \text{ hipérbola} \]
\[ \frac{ {y’}^2 }{10} – \frac{ {x’}^2 }{6} = 1, \; \text{hipérbola} \]
\[ \text{Elipse}, \; \frac{ {x’}^2 }{2} + \frac{{y’}^2}{10} = 1 \]
\[ \text{Parábola}, \; y’ = {x’}^2 \]
1. \(\cfrac{{x’}^2}{9} + \cfrac{{y’}^2}{3} = 1\)
2. En X\(‘\)Y\(‘\): \(V_1 = (-3, \, 0)\), \(V_2 = (3, \, 0)\).
  
  En XY: \(V_1 = \left( -\frac{3}{\sqrt{5}}, \, -\frac{6}{\sqrt{5}} \right)\), \(V_2 = \left( \frac{3}{\sqrt{5}}, \, \frac{6}{\sqrt{5}} \right)\)
3. En X\(‘\)Y\(‘\): \(F_1 = \left( -\sqrt{6}, \, 0 \right)\), \(F_2 = \left( \sqrt{6}, \, 0 \right)\).
  
  En XY: \(F_1 = \left( -\sqrt{\frac{6}{5}}, \, -2\sqrt{ \frac{6}{5} } \right)\), \(F_2 = \left( \sqrt{ \frac{6}{5} }, \, 2 \sqrt{ \frac{6}{5} } \right)\).
4. \(2x – y = 0\)
5. \(x + 2y = 0\)
1. \(\cfrac{(x’ – 1)^2}{4} + \cfrac{ (y’ – 2)^2 }{1} = 1\)
2. En X\(‘\)Y\(‘\): \(C = (1, \, 2)\), \(V_1 = (-1, \, 2)\), \(V_2 = (3, \, 2)\).
  
  En XY: \(C = \left( -\frac{2}{5}, \, \frac{11}{5} \right)\), \(V_1 = (-2, \, 1)\), \(V_2 = \left( \frac{6}{5}, \, \frac{17}{5} \right)\).
3. En X\(‘\)Y\(‘\): \(F_1 = \left( 1 – \sqrt{5}, \, 2 \right)\), \(F_2 = \left( 1 + \sqrt{5}, \, 2 \right)\)
  
  En XY: \(F_1 = \left( – \frac{ 2 + 4 \sqrt{5} }{5}, \, \frac{11 – 3 \sqrt{5}}{5} \right)\), \(F_2 = \left( -\frac{2 – 4 \sqrt{5}}{5}, \, \frac{11 + 3 \sqrt{5}}{5} \right)\)