Precálculo Sec. 3.4

La hipérbola

En los problemas del 1 al 15, hallar la ecuación canónica de la hipérbola que satisface los datos indicados.

Focos: \((\pm 7, 0)\). Vértices: \((\pm 5, 0)\).
Focos: \((\pm 13, 0)\). Vértices: \((\pm 5, 0)\).
Focos: \((0, \pm6)\). Vértices: \((0, \pm2)\).
Focos: \((0, \pm 15)\). Vértices: \((0, \pm4)\).
Focos: \((-2, 2)\), \((8, 2)\). Vértices: \((0, 2)\), \((6, 2)\).
Un foco: \((-3, 3)\). Vértices: \((-3, 0)\), \((-3, -6 )\).
Focos: \((-1,2)\), \((5, 2)\). Un vértice: \((4, 2)\).
Focos: \((\pm 3, 0)\). Asíntotas: \(y = \pm 2x\).
Focos: \((0,\, \pm\sqrt{58})\). Asíntotas: \(y = \pm \cfrac{5}{2}x\).
Asíntotas: \(x = \pm \sqrt{3}y\). Pasa por \((6, 4)\).
Focos: \((2, 2)\), \((6, 2)\), Asíntotas: \(y = x + 2\), \(y = -x + 6\).
Asíntotas: \(y = 2x + 1\), \(y = -2x + 3\). Pasa por \((0, 0)\).
Vértices: \((-5, 3)\), \((1, 3)\). Una asíntota: \(2y - x + 7 = 0\).
Vértices: \((-1, 3)\), \((3, 3)\). Excentricidad: \(e=\cfrac{3}{2}\).
Vértices: \((-2, -2)\), \((-2, 4)\). Lado recto: \(L=2\).

En los problemas del 16 al 19, completando cuadrados, hallar:

La ecuación canónica de la hipérbola.
Los vértices.
Los focos.
Las asíntotas.

\[ 9x^2 - 16y^2 -54x + 64y - 127 = 0 \]

\[ \begin{aligned} 9x^2 - 16y^2 -54x &+ 64y \\[1em] &- 127 = 0 \end{aligned} \]
\[ 4x^2 - 9y^2 + 32x + 36y + 64 = 0 \]
\[ 16x^2 - y^2 - 32x - 6y- 57 = 0 \]
\[ 4x^2 - 9y^2 - 16x + 54y - 101 = 0 \]

\[ \begin{aligned} 4x^2 - 9y^2 - 16x &+ 54y \\[1em] &- 101 = 0 \end{aligned} \]
Dos estaciones \(A\) y \(B\) de un sistema LORAN están situadas a una distancia de 200 \(km\). entre sí a lo largo de un litoral recto.

La estación \(B\) está al oeste de \(A\).

Un barco que navega en alta mar, recibe la señal de la estación \(B\), 0.0004 segundos antes que la señal de la estación \(A\).

La señal se desplaza a una velocidad de 300,000 \(km/seg\).
Un barco que navega en alta mar, recibe la señal de la estación \(B\), 0.0004 segundos antes que la señal de la estación \(A\).

La señal se desplaza a una velocidad de 300,000 \(km/seg\).
1. Si el barco navega hacia el litoral manteniendo esta diferencia de tiempo, hallar una ecuación de su trayectoria.
2. ¿En qué lugar el barco tocaría tierra?
3. Si el muelle está entre las dos estaciones a 70 \(km\). de la estación \(B\), hallar la diferencia de tiempo que debe mantener el barco.
Dos observadores se encuentran en los puntos \(F_1=(-200, 0)\) y \(F_2=(200, 0)\) del plano XY. El sonido de una explosión en plano XY esa escuchada por el observador en \(F_2\), 1 segundos antes que el observador en \(F_1\). Hallar la ecuación de la hipérbola donde se encuentra la explosión.
Hallar la ecuación del conjunto de puntos del plano tales que su distancia al punto \((-2, 1)\) es \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) de su distancia a la recta \(x = -\frac{3}{2}\).
Sea la hipérbola \(\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1\) y sea \(P=(x_1, y_1)\) un punto de ella.
1. Probar que la pendiente de la recta tangente a la hipérbola en el punto:
  
  \[ P = (x_1, y_1), \; \text{ es: } \; m=\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} \]
  
  Sugerencia: La recta \(T: \; y = m(x-x_1) + y_1\) pasa por \(P = (x_1, y_1)\). \(T\) es tangente a la hipérbola si intersecta a ésta en un único punto. Seguir los mismos pasos del problema resuelto 3.2.6.
  
  Otra sugerencia: Espera hasta que aprendas a derivar.
2. Probar que la recta tangente \(T\) a la hipérbola en el punto \(P=(x_1, y_1)\), tiene por ecuación:
  
  \[ \cfrac{x_1 x}{a^2}-\cfrac{y_1 y}{b^2}=1 \]

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Respuestas

\[ \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{24} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{144} = 1 \]
\[ \frac{y^2}{4} – \frac{x^2}{32} = 1 \]
\[ \frac{y^2}{16} – \frac{x^2}{209} = 1 \]
\[ \frac{ (x – 3)^2 }{9} – \frac{ (y – 2)^2 }{16} = 1 \]
\[ \frac{(y + 3)^2}{9} – \frac{ (x + 3)^2 }{27} = 1 \]
\[ \frac{ (x – 2)^2 }{4} – \frac{(y – 2)^2}{5} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{\frac{9}{5}} – \frac{y^2}{\frac{36}{5}} = 1 \]
\[ \frac{y^2}{50} – \frac{x^2}{8} = 1 \]
\[ \frac{y^2}{4} – \frac{x^2}{12} = 1 \]
\[ \frac{(x – 4)^2}{2} – \frac{(y – 2)^2}{2} = 1 \]
\[ \frac{(y – 2)^2}{3} – \frac{ \left( x – \frac{1}{2} \right)^2 }{ \frac{3}{4} } = 1 \]
\[ \frac{ (y + 2)^2 }{9} – \frac{(x – 3)^2}{36} = 1 \]
\[ \frac{(x – 1)^2}{4} – \frac{(y – 3)^2}{5} = 1 \]
\[ \frac{ (y – 1)^2 }{9} – \frac{(x + 2)^2}{3} = 1 \]
1. \[ \frac{ (x – 3)^2 }{16} – \frac{(y – 2)^2}{9} = 1 \]
2. \[ (-1, \, 2), \, (7, \, 2) \]
3. \[ (-2, \, 2), \, (8, \, 2) \]
4. \(3x – 4y – 1 = 0\); \(3x + 4y – 17 = 0\)
1. \[ \frac{(y – 2)^2}{4} – \frac{(x + 4)^2}{9} = 1 \]
2. \[ (-4, \, 0), \, (-4, \, 4) \]
3. \(\left( -4, \, 2 – \sqrt{13} \right)\), \(\left( -4, \, 2 + \sqrt{13} \right)\)
4. \(3y – 2x – 14 = 0\); \(3y + 2x + 2 = 0\)
1. \[ \frac{(x – 1)^2}{4} – \frac{(y + 3)^2}{64} = 1 \]
2. \[ (-1, \, -3), \, (3, \, -3) \]
3. \(\left( 1 – 2 \sqrt{17}, \, -3 \right)\), \(\left( 1 + 2\sqrt{17}, \, -3 \right)\)
4. \(y – 4x + 7 = 0\); \(y + 4x – 1 = 0\)
1. \[ \frac{(x – 2)^2}{9} – \frac{ (y – 3)^2 }{4} = 1 \]
2. \[ (-1, \, 3), \, (5, \, 3) \]
3. \[ \left( 2 – \sqrt{13}, \, 3 \right), \, \left( 2 + \sqrt{13}, \, 3 \right) \]
4. \(2x – 3y + 5 = 0\); \(2x + 3y – 13 = 0\)
1. \[ \frac{x^2}{3,600} – \frac{y^2}{6,400} = 1 \]
2. A \(40 \, km\) de la estación \(B\).
3. \(0.0002 \; seg.\)
\[ \frac{x^2}{28,900} – \frac{y^2}{11,100} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{3} – \frac{ (y – 1)^2 }{1} = 1 \]