Precálculo Sec. 3.3

La elipse

En los problemas del 1 al 12, hallar la ecuación canónica de la elipse cuyos datos son indicados.

Focos: $(\pm 2, 0)$. Vértices: $(\pm 6, 0)$.
Focos: $(0, \pm 5)$. Vértices: $(0, \pm 8)$
Foco: $(5, 2)$. Vértices: $(2, 2)$, $(6, 2)$.
Foco: $(-4, 0)$. Vértices: $(-4, -2)$, $(-4, 8)$.
Vértices: $(3, -1)$, $(3, 3)$. Pasa por $(2, 1)$.
Vértices: $(\pm 5, 0)$, Longitud del eje menor: 6.
Vértices: $(-1, \pm 3)$. Longitud del eje menor: 4.
Vértices: $(2, -10)$, $(2, 10)$. Pasa por $(6, 3)$.
Focos: $(\pm 2, 0)$. Excentricidad : $e=2/3$.
Vértices: $(1, 1)$, $(1, 7)$. Excentricidad: $e=1/3$.
Focos: $(\pm 3, -1)$. Longitud lado recto = 9.
Centro: $(-2, 2)$. Vértice: $(3, 2)$. Lado recto = 4.
\[ x^2 + 4y^2 - 6x + 16y = - 9 \]
\[ 9x^2 + 4y^2 -18x + 24y + 9 = 0 \]
\[ 25x^2 + 16y^2 +100x - 96y = 156 \]
Una autopista de dos vías pasa por un túnel semielíptico de 10 pies de altura y 30 pies de ancho.

Un camión de 9 pies de ancho y 7.5 pies de altura se acerca al túnel por su lado de la autopista.

¿Podrá atravesar el túnel sin rozarlo y sin usar parte de la otra línea de la autopista?
La sección trazada a lo largo de la parte más larga del Estadio Olímpico de Montreal es una elipse con eje mayor y eje menor de 480 y 280 metros, respectivamente. Hallar la ecuación canónica de esta elipse.

Este estadio fue construido con motivo de las olimpiadas del año 1976. La torre inclinada que se observa, mide 175 $m$ y es la más alta de su tipo.

Este estadio fue construido con motivo de las olimpiadas del año 1976. La torre inclinada que se observa, mide 175 $m$ y es la más alta de su tipo.
Sea $S$ el conjunto de puntos $P$ del plano tales que la distancia de $P$ al punto $(2, \, 0)$ es la mitad de la distancia $P$ a la recta $x = 8$. Hallar una ecuación que satisface los puntos de $S$. Identificar este conjunto.
Sea $S$ el conjunto de puntos $P$ del plano tales que la distancia de $P$ al punto $(0, \, 4)$ es $4/5$ de la distancia $P$ a la recta $y = \frac{25}{4}$. Hallar una ecuación que satisface los puntos de $S$.
Se ha colocado un satélite que gira alrededor de la luna. Su órbita es una elipse en uno de cuyos focos está el centro lunar. Las distancias máximas y la distancia mínima a la superficie lunar son 4,522 y 522 $km$, respectivamente. El radio de la luna es de 1,728 $km$. Hallar:
1. La excentricidad de la órbita.
2. Una ecuación de la órbita.
Sea la elipse: $\cfrac{x^2}{a^2}+ \cfrac{y^2}{b^2}=1$; y sea $P = (x_1, \, y_1)$ un punto de ella.
1. Probar que la pendiente de la tangente a la elipse en el punto $P=(x_1, \, y_1)$ es:
  
  \[ m = -\frac{b^2x_1}{a^2y_1} \]
  
  Sugerencia: La recta $T: \, y = m(x -x_1) + y_1$ pasa por $P = (x_1, \, y_1)$. T es tangente a la elipse si intersecta a ésta en un único punto. Seguir los mismos pasos del problema resuelto 3.2.6
  
  Otra sugerencia: Espera hasta que aprendas a derivar.
2. Probar que la recta tangente $T$ a la elipse en el punto $P = (x_1, \, y_1)$, tiene por ecuación: $\cfrac{x_1 x}{a^2} + \cfrac{y_1 y}{b^2}=1$.

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Respuestas

\[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{32} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{39} + \frac{y^2}{64} = 1 \]
\[ \frac{(x – 4)^2}{4} + \frac{(y – 2)^2}{3} = 1 \]
\[ \frac{(x + 4)^2}{16} + \frac{(y – 3)^2}{25} = 1 \]
\[ (x – 3)^2 + \frac{( y – 1 )^2 }{4} = 1 \]
\[ \frac{ x^2 }{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
\[ \frac{ (x + 1)^2 }{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
\[ \frac{ (x – 2)^2 }{ \frac{1600}{91} } + \frac{y^2}{100} = 1 \]
\[ \frac{ x^2 }{9} + \frac{y^2}{5} = 1 \]
\[ \frac{(x + 1)^2}{8} + \frac{(y + 4)^2}{9} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{36} + \frac{(y + 1)^2}{27} = 1 \]

1. $\cfrac{(x – 3)^2}{4} + \cfrac{(y + 2)^2}{1} = 1$
2. Vertices: $(1, \, -2)$, $(5, \, -2)$. Focos: $\left( 3 – \sqrt{3}, \, -2 \right)$, $\left( 3 + \sqrt{3}, \, -2 \right)$
1. $\cfrac{ (x – 1)^2 }{4} + \cfrac{(y + 3)^2}{9} = 1$
2. Vertices: $(1, \, -6)$, $(1, \, 0)$. Focos: $\left( 1, \, -3 -\sqrt{5} \right)$, $\left(1, \, -3 + \sqrt{5} \right)$
1. $\cfrac{(x + 2)^2}{16} + \cfrac{(y – 3)^2}{25} = 1$
2. Vertices: $(-2, \, -2)$, $(-2, \, 8)$. Focos: $(-2, \, 0)$, $(-2, \, 6)$
Sí. La altura del tunel cuando $x = 9$ es $8$, y $7.5 < 8$.
\[ \frac{ x^2 }{(240)^2} + \frac{y^2}{(140)^2} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1. \; \text{ Elipse}. \]
\[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1. \; \text{ Elipse}. \]
1. \[ e = \frac{8}{17} \]
2. \[ \frac{x^2}{ 18,062,500 } + \frac{ y^2 }{ 14,062,500 } = 1 \]
  
  \[ \begin{aligned} \frac{x^2}{ 18,062,500 } &+ \frac{ y^2 }{ 14,062,500 } \\[.5em] &\hspace{3em} = 1 \end{aligned} \]