Gráficas de ecuaciones. Simetría y traslación.
En los problemas del 1 al 7 aplicar los criterios de simetría para determinar si el gráfico de la ecuación dada es simétrico respecto al eje X, eje Y o al origen.
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\[ y = x^2 \]
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\[ xy = 1 \]
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\[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
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\[ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 \]
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\[ y^2(2 - x) = x^3 \]
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\[ x^2 + y^2 + x = \sqrt{x^2+y^2} \]
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\[ (x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2 \]
En los problemas del 8 al 16 hallar una ecuación de la circunferencia que satisface las condiciones dadas.
- Centro, \((2, -1)\); \(r = 5\).
- Centro \((-3, 2)\); \(r =\sqrt{5}\).
- Centro en el origen, pasa por \((-3, 4)\).
- Centro \((1, -1)\), pasa por \((6, 4)\).
- Centro \((1, -3)\), es tangente al eje X.
- Centro \((-4, 1)\), es tangente al eje Y.
- Tiene un diámetro de extremos: \((2, 4)\) y \((4, -2)\).
- Radio \(r = 1\) pasa por: \((1, 1)\) y \((1, -1)\).
- Pasa por los puntos \((0, 0)\), \((0, 8)\) y \((6, 0)\).
En los problemas del 17 al 22 probar que la ecuación dada representa una circunferencia, hallando su centro y su radio.
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\[ x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0 \]
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\[ x^2 + y^2 + 4y - 4 = 0 \]
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\[ x^2 + y^2 + y = 0 \]
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\[ x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0 \]
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\[ 2x^2 + 2y^2 - x + y - 1 = 0 \]
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\[ 16x^2 + 16y^2 - 48x - 16y - 41 = 0 \]
En los problemas 23, 24 y 25, aplicando los criterios de traslación a la gráfica de la parábola semicúbica (ejemplo 2.2.6-b), graficar las siguientes ecuaciones.
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\[ (y - 1)^2 = (x + 1)^3 \]
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\[ (x - 1)^2 = (y + 1)^3 \]
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\[ (y+1)^2 = (x - 1)^3 \]
En los problemas del 26 al 28, aplicando los criterios de traslación y de reflexión a la gráfica de la Bruja de Agnesi (ejemplo 2.2.6-a), graficar las siguientes ecuaciones.
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\[ (x-3)^2(y-2)=4(4-y) \]
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\[ (y - 3)^2(x - 2) = 4(4 - x) \]
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\[ (x + 3)^2(y + 2) = 4(-y) \]
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Respuestas
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Eje Y
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Origen
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Eje X, eje Y y Origen
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Eje X, eje Y y Origen
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Eje X
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Eje X
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Eje X, eje Y y Origen
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\[ (x – 2)^2 + (y + 1)^2 = 25 \]
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\[ (x + 3)^2 + (y – 2)^2 = 5 \]
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\[ x^2 + y^2 = 25 \]
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\[ (x – 1)^2 + (y + 1)^2 = 50 \]
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\[ (x – 1)^2 + (y + 3)^2 = 9 \]
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\[ (x + 4)^2 + (y – 1)^2 = 16 \]
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\[ (x – 3)^2 + (y – 1)^2 = 10 \]
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\[ (x – 1)^2 + y^2 = 1 \]
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\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25 \]
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Centro \((1, \, 0), \; r= 2\)
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Centro \((0, \, -2), \; r = 2 \sqrt{2}\)
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Centro \(\left( 0, \, -\frac{1}{2} \right), \; r = \frac{1}{2} \)
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Centro \((1, \, -2), \; r = 3\)
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Centro \(\left( \frac{1}{4}, \, -\frac{1}{4} \right), \; r = \frac {\sqrt{10}}{4}\)
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Centro \(\left( \frac{3}{2}, \, \frac{1}{2} \right), \; r = \frac{9}{4}\)
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\[ (y – 1)^2 = (x + 1)^3 \]
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\[ (x – 1)^2 = (y + 1)^3 \]
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\[ (y + 1)^2 = (x – 1)^3 \]
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\[ (x-3)^2 (y – 2) = 4 \left(2 -(y – 2) \right) \]
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\[ (y – 3)^2 (x – 2)= 4 \left( 2 – (x-2) \right) \]
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\[ (x + 3)^2 (y + 2) = 4 \left( 2 -(y + 2) \right) \]
