Precálculo Sec. 2.1

El plano cartesiano

En los problemas 1, 2 y 3 hallar la distancia entre los siguientes pares de puntos \(\boldsymbol{P}\) y \(\boldsymbol{Q}\) y encontrar el punto medio del segmento que los une.

1. \[ P = (0, 0)\text{, } \, Q = (1, 2) \]
2. \[ P = (1, 3)\text{, } \, Q = (3, 5) \]
3. \[ P = (-1, 1)\text{, } \, Q = (1, \sqrt{2}) \]
4. Probar que los puntos \(A = (-2, 4)\), \(B = (-1, 3)\)   y   \(C = (2, -1)\) son colineales.
5. Si \(A = (-3, -5)\)   y   \(M = (0, 2)\), hallar \(B\) sabiendo que \(M\) es el punto medio del segmento \(\overline{AB}\).
6. Si \(B = (8, -12)\)   y   \(M = (7/2, 3)\), hallar \(A\) sabiendo que \(M\) es el punto medio del segmento \(\overline{AB}\).
7. Probar que los puntos \(A = (2, -3)\), \(B = (4, 2)\)   y   \(C = (-1, 4)\) son los vértices de un triángulo isósceles.
8. Probar que el triángulo con vértices \(A = (4, 1)\), \(B = (2, 2)\)   y   \(C = (-1, -4)\) es rectángulo.
9. Probar que los puntos \(A = (1, 2)\), \(B = (4, 8)\), \(C = (5, 5)\)   y   \(D = (2, -1)\) son los vértices de un paralelogramo.
10. Probar que los puntos \(A = (0, 2)\), \(B = (1, 1)\), \(C = (2, 3)\)   y   \(D = (-1, 0)\) son los vértices de un rombo.
11. Probar que los puntos \(A = (1, 1)\), \(B = (11, 3)\), \(C = (10, 8)\)   y   \(D = (0, 6)\) son los vértices de un rectángulo.
12. Probar que los puntos \(A = (-4, 1)\), \(B = (1, 3)\), \(C = (3, -2)\)   y   \(D = (-2, -4)\) son los vértices de un cuadrado.
13. Hallar los puntos \(P = (x, 2)\) que distan 5 unidades del punto \((-1, -2)\).
14. Hallar los puntos \(P = (1, y)\) que distan 13 unidades del punto \((-4, 1)\).
15. Hallar una ecuación que relaciona las variables \(x\) e \(y\), y que describa el hecho de que el punto \(P = (x, y)\) equidista de los puntos \(A = (6, 1)\)   y   \(B = (-4, -3)\).
16. Hallar una ecuación que relacione a las variables \(x\) e \(y\), y que describa el hecho de que el punto \(P = (x, y)\) dista 3 unidades del origen.
17. Los puntos medios de los lados de un triángulo son \(M = (2, -1)\), \(N = (-1, 4)\)   y   \(Q = (-2, 2)\). Hallar los vértices.
18. Dos vértices adyacentes de un paralelogramo son \(A = (2, 3)\)   y   \(B = (4, -1)\). Si las diagonales se bisecan en el punto \(M = (1, -3)\), hallar los otros dos vértices.
19. Los vértices de un cuadrilátero son \(A = (-2, 14)\), \(B = (3, -4)\), \(C = (6, -2)\)   y   \(D = (6, 6)\). Hallar el punto donde las diagonales se intersectan.