Ángulos

Un ángulo se puede definir como el espacio comprendido entre dos rectas o lados del ángulo, las cuales tienen un mismo origen, que es el vértice del ángulo.

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Métricas de un ángulo

La amplitud de un ángulo puede expresarse en grados o en radianes.

Grados (${}^{\mathbf{\circ }}$)

Un grado(${}^{\circ }$) es la unidad resultante de dividir un segmento de recta llano entre 180.

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Radianes

Si consideramos a un ángulo como un sector circular de una circunferencia (o un slice de pizza ), un radian es la razón entre la longitud de arco del sector (cuando esta sea igual al radio) y el radio de la circunferencia.

La medida de un ángulo en radianes expresa cuantos radios están comprendidos en el arco del sector circular formado por el ángulo.

En la figura anterior, podemos decir que la medida del ángulo $\mathrm{\angle }AOB$ expresada en radianes es:

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Tipos de ángulos

• Obtuso: su amplitud es superior a ${90}^{\circ }$ ó $\frac{\pi }{2}$ radianes.

• Agudo: su amplitud es inferior a ${90}^{\circ }$ ó $\frac{\pi }{2}$ radianes.

• Recto: su amplitud es de exactamente ${90}^{\circ }$ ó $\frac{\pi }{2}$ radianes.

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Relaciones entre ángulos

• Dos ángulos son congruentes congruentes si y solo si tienen la misma medida.

• Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90° .

• Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180° .

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Angulos con lados perpendiculares

Sean los ángulos $\mathrm{\angle }\alpha$ y $\mathrm{\angle }\beta$ tales que sus lados son perpendiculares.

• $\alpha$ y $\beta$ son congruentes si ambos son agudos o ambos son obtusos.



• $\alpha$ y $\beta$ son suplementarios si uno es agudo y el otro es obtuso.

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Angulos en rectas paralelas

Sean $L_1$ y $L_2$ dos rectas paralelas cortadas por una recta $S$ (secante):

Tenemos que:

• Los ángulos internos son congruentes:

  $$\mathrm{\angle }3\cong \mathrm{\angle }6\text{ y }\mathrm{\angle }4\cong \mathrm{\angle }5$$

• Los ángulos alternos externos son congruentes:

  $$\mathrm{\angle }1\cong \mathrm{\angle }8\text{ y }\mathrm{\angle }2\cong \mathrm{\angle }7$$

• Los ángulos correspondientes son congruentes:

  $$\begin{array}{rlrlrlrlrlrlrlr}& \mathrm{\angle }1\cong \mathrm{\angle }5,& & & & \mathrm{\angle }2\cong \mathrm{\angle }6,& & & & \mathrm{\angle }3\cong \mathrm{\angle }7,& & \text{ y }& & \mathrm{\angle }4\cong \mathrm{\angle }8& \end{array}$$
  $$\begin{array}{rlrlrlr}& \mathrm{\angle }1\cong \mathrm{\angle }5,& & & & \mathrm{\angle }2\cong \mathrm{\angle }6,& \\ & \mathrm{\angle }3\cong \mathrm{\angle }7,& & \text{ y }& & \mathrm{\angle }4\cong \mathrm{\angle }8& \end{array}$$

• Los ángulos conjugados internos son suplementarios:

  $$\begin{array}{rlrlrlrlrlr}& \mathrm{\angle }3+\mathrm{\angle }5={180}^{\circ }& & & & \text{ y }& & & & \mathrm{\angle }4+\mathrm{\angle }6={180}^{\circ }& \end{array}$$
  $$\mathrm{\angle }3+\mathrm{\angle }5={180}^{\circ }$$

  y

  $$\mathrm{\angle }4+\mathrm{\angle }6={180}^{\circ }$$

• Los ángulos conjugados externos son suplementarios:

  $$\begin{array}{rlrlrlrlrlr}& \mathrm{\angle }1+\mathrm{\angle }7={180}^{\circ }& & & & \text{ y }& & & & \mathrm{\angle }2+\mathrm{\angle }8={180}^{\circ }& \end{array}$$
  $$\mathrm{\angle }1+\mathrm{\angle }7={180}^{\circ }$$

  y

  $$\mathrm{\angle }2+\mathrm{\angle }8={180}^{\circ }$$