Ángulos - Hipotenusa

Un ángulo se puede definir como el espacio comprendido entre dos rectas o lados del ángulo, las cuales tienen un mismo origen, que es el vértice del ángulo.

Angulo $\angle BAC $ con vértice $A$ y lados $ \overline{AB} $ y $ \overline{AC} $

Métricas de un ángulo

La amplitud de un ángulo puede expresarse en grados o en radianes.

Grados ($^{\boldsymbol{\circ}}$)

Un grado($^{\circ}$) es la unidad resultante de dividir un segmento de recta llano entre 180.

Radianes

Si consideramos a un ángulo como un sector circular de una circunferencia (o un slice de pizza 😉), un radian es la razón entre la longitud de arco del sector (cuando esta sea igual al radio) y el radio de la circunferencia.

Angulo de 1 radian con vértice $O$ en el centro de la circunferencia, y con longitud de arco y lados $r$

La medida de un ángulo en radianes expresa cuantos radios están comprendidos en el arco del sector circular formado por el ángulo.

Angulo con vértice $O$ en el centro de la circunferencia, lados $r$ y arco $S$

En la figura anterior, podemos decir que la medida del ángulo $\angle AOB$ expresada en radianes es:

\[ \angle AOB = \frac{S}{r} = \frac{2r}{r} = 2 \text{ radianes} \]

Tipos de ángulos

Obtuso: su amplitud es superior a $90^{\circ}$ ó $\frac{\pi}{2}$ radianes.
Agudo: su amplitud es inferior a $90^{\circ}$ ó $\frac{\pi}{2}$ radianes.
Recto: su amplitud es de exactamente $90^{\circ}$ ó $\frac{\pi}{2}$ radianes.

Relaciones entre ángulos

Dos ángulos son congruentes congruentes si y solo si tienen la misma medida.
Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90° .
Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180° .

Angulos con lados perpendiculares

Sean los ángulos $∠ α$ y $∠ β$ tales que sus lados son perpendiculares.

$α$ y $β$ son congruentes si ambos son agudos o ambos son obtusos.

\[ \angle \alpha \cong \angle \beta \]

$α$ y $β$ son suplementarios si uno es agudo y el otro es obtuso.

\[ \angle \alpha + \angle \beta = 180^{\circ} \]

Angulos en rectas paralelas

Sean $L_{1}$ y $L_{2}$ dos rectas paralelas cortadas por una recta $S$ (secante):

Ocho ángulos formados por la recta secante $S$ que corta a las rectas paralelas $L_1$ y $L_2$

Tenemos que:

Los ángulos internos son congruentes:

\[ \angle 3 \cong \angle 6 \quad \text{ y } \quad \angle 4 \cong \angle 5 \]
Los ángulos alternos externos son congruentes:
$∠ 1 ≅ ∠ 8 y ∠ 2 ≅ ∠ 7$
Los ángulos correspondientes son congruentes:

\[ \begin{aligned} &\angle 1 \cong \angle 5,& &\;& &\angle 2 \cong \angle 6,& &\;& &\angle 3 \cong \angle 7,& &\; \text{ y } \;& &\angle 4 \cong \angle 8& \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &\angle 1 \cong \angle 5,& &\quad& &\angle 2 \cong \angle 6,& \\[1em] &\angle 3 \cong \angle 7,& &\; \text{ y } \;& &\angle 4 \cong \angle 8& \end{aligned} \]
Los ángulos conjugados internos son suplementarios:

\[ \begin{aligned} &\angle 3 + \angle 5 = 180^{\circ}& &\;& &\text{ y }& &\;& &\angle 4 + \angle 6 = 180^{\circ}& \end{aligned} \]

\[ \angle 3 + \angle 5 = 180^{\circ} \]

y

\[ \angle 4 + \angle 6 = 180^{\circ} \]
Los ángulos conjugados externos son suplementarios:

\[ \begin{aligned} &\angle 1 + \angle 7 = 180^{\circ}& &\;& &\text{ y }& &\;& &\angle 2 + \angle 8 = 180^{\circ}& \end{aligned} \]

\[ \angle 1 + \angle 7 = 180^{\circ} \]

y

\[ \angle 2 + \angle 8 = 180^{\circ} \]