Funciones Cuadráticas

Se llama función cuadrática a toda función real de variable real de la forma:

\[ \boldsymbol{ f(x) = a x^2 + bx + c}, \]

donde $a$ , $b$ y $c$ son números reales y $ \boldsymbol{a \neq 0}$.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola, cuyo vértice es el punto:

\[ V = \left( -\frac{b}{2a}, - \frac{b^2 - 4ac}{4a} \right) \]

\[ \boldsymbol{a > 0} \]

Si $a > 0$ la parábola abre hacia arriba. En este caso, la ordenada del vertice $V$ es un mínimo de la función.

Si $a < 0$ la parábola abre hacia abajo. En este caso, la ordenada del vertice $V$ es un máximo de la función.

\[ \boldsymbol{a < 0} \]

Raíces de una ecuación de segundo grado

Al trabajar con funciones cuadráticas es frecuente la necesidad de hallar las raíces de la función $f(x)$. Para estos casos podemos recurrir a la factorización, o bien, a la fórmula general para ecuaciónes de segundo grado:

\[ x = \frac{ -b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a}, \quad a \neq 0 \]

En la ecuación de segundo grado $ ax^2 + bx + c = 0 $, a la expresion $\boldsymbol{ b^2 - 4ac } $ se le llama discriminante de la ecuación.

Por la discriminante podemos determinar que la ecuación tiene:

Dos raíces reales si:

\[ \boldsymbol{ b^2 - 4ac > 0 } \]
Una sola raíz real si:

\[ \boldsymbol{ b^2 - 4ac = 0 } \]
Ninguna raíz real si:

\[ \boldsymbol{ b^2 - 4ac < 0 } \]