Cal. Diferencial Sec. 4.7

Método de Newton-Raphson

En los problemas del 1 al 6, mediante un esbozo de la función correspondiente, deducir que las ecuaciones dadas tienen una única raíz. Mediante el método de Newton-Raphson, hallar una aproximación a esta raíz con seis cifras decimales.

1. \[ x^3 - 4x^2 + 2 =0 \]
2. \[ x^3 - 6x^2 + 9x + 1 = 0 \]
3. \[ \cos x = x \]
4. \[ \cos (x^3) = x \]
5. \[ \mathrm{e}^{-x} = x \]
6. \[ x \ln x = 1 \]

En los problemas del 7 al 11, muestre que \(\boldsymbol{f(x) = 0}\) tiene una raíz en el intervalo \(\boldsymbol{[a,\, b]}\) verificando que \(\boldsymbol{f(a)}\)   y   \(\boldsymbol{f(b)}\) tienen signos diferentes. Luego, mediante el método de Newton-Raphson, hallar una aproximación a esa raíz, con seis cifras decimales.

7. \[ f(x) = \text{ sen } 2x - x + 1, \; a = 1, \; b = 2 \]
   \[ \begin{aligned} &f(x) = \text{ sen } 2x - x + 1, \\[.5em] &\hspace{4em}a = 1, \; b = 2 \end{aligned} \]
8. \[ f(x) = \text{ sen } x - \mathrm{e}^{-x}, \; a = 2, \; b = 4 \]
   \[ \begin{aligned} &f(x) = \text{ sen } x - \mathrm{e}^{-x}, \\[.5em] &\hspace{4em} a = 2, \; b = 4 \end{aligned} \]
9. \[ f(x) = \tan x + x, \; a = 2, \; b = 3 \]
   \[ \begin{aligned} &f(x) = \tan x + x, \\[.5em] &\hspace{4em}a = 2, \; b = 3 \end{aligned} \]
10. \[ f(x) = \tan^{-1} x - \frac{x}{2}, \; a = -3, \; b = - 2 \]
    \[ \begin{aligned} &f(x) = \tan^{-1} x - \frac{x}{2}, \\[.5em] &\hspace{4em}a = -3, \; b = - 2 \end{aligned} \]
11. \[ f(x) = \text{ sen}^{-1} x - (x - 1)^2, \; a = 0, \; b = 1 \]
    \[ \begin{aligned} &f(x) = \text{ sen}^{-1} x - (x - 1)^2, \\[.5em] &\hspace{4em}a = 0, \; b = 1 \end{aligned} \]

En los problemas del 12 y 13, hallar el valor del radical dado con 6 cifras de aproximación.

12. \[ \sqrt[3]{19} \]
13. \[ \sqrt[6]{2} \]

En los problemas 14 y 15, usando el método de Newton-Raphson, determinar, con 6 cifras decimales, la coordenada x del punto donde se intersentan las curvas dadas.

14. \[ y = \ln x, \; y = 4x - x^2 \]
15. \[ y = \tan^{-1} x, \; y = 2 - x \]

16. Dada la parábola   \(y = x^2\):

    1. Hallar el punto \(P_0\) en la gráfica, el cual está más cerca del punto \((2,\, 0)\).

    2. Hallar la distancia de este punto al punto \((2,\, 0)\).

    Dar las respuestas con tres decimales de aproximación.

17. Hallar el máximo absoluto de la función \(g(x) = \cos x + 5x - x^2\). Dar la respuesta con 3 cifras decimales de aproximación.

18. Sea la función:

    \[ f(x) = \begin{cases} \hspace{.5em} \sqrt{x - a}, \; \text{ si } x \geq a \\[.5em] -\sqrt{a - x}, \; \text{ si } x \leq a \end{cases} \]

    Una raiz de la ecuación \(f(x) = 0\) es \(a\).

    Probar que el método de Newton-Raphson falla en aproximar la raíz \(a\).

    Para esto, probar que, para cualquier número positivo \(h\), si \(x_1 = a + h\), entonces \(x_2 = a - h\)   y si   \(x_1 = a - h\), entonces \(x_2 = a + h\).