Sección 4.6

Cálculo Diferencial

Respuestas ✓

largo $=$ ancho $= 18 \text{ cm}$
$100 \text{ m.}$, $200 \text{ m.}$
$16 \text{ cm}$
$3 \text{ cm.}$
$1 \text{ dm.}$
$1 \text{ dm.}$
largo $=$ ancho $=$ altura $= 40 \text{ cm.}$
$140 \text{ m.}$, $\frac{280}{\pi} \text{ m.}$
$\frac{40,000}{\pi} \text{ m}^2.$
base $= \frac{14}{4+\pi}$, altura rectán. $= \frac{7}{4+\pi}$
base $= \frac{36}{12-\sqrt{3}} \approx 3.51$, altura rectángulo $= \frac{54-9\sqrt{3}}{12-\sqrt{3}} \approx 3.74$
Entre $B$ y $C$ a $1.6 \text{ km}$ de $B$
$P$ coincide con $C$
Remar hasta $P$ entre $F$ y $B$ a $3.6 \text{ km}$ de $F$
Remar hasta la bodega
70 habitaciones, $75
88 plantas
base $= \sqrt{2}r$, altura $= \frac{\sqrt{2}}{2}r$
$\frac{\pi}{3}$
4, 4
$a = 2\sqrt{3}$, $h = 2\sqrt{6}$
a. $\frac{12\pi}{4+\pi} \approx 5.28$ para la circunferencia
b. 12 para la circunferencia(no hay cuadrado)
base $= 60 \text{ cm}$, altura $= 3\sqrt{3} \text{ cm.}$
$3\sqrt{3}$
radio cilin. $= \frac{\sqrt{2}}{2}r$, alt. $= \sqrt{2}r$
radio cono $= \frac{2\sqrt{2}}{3}r$, altura $= \frac{4}{3}r$
radio cono $= \frac{2\sqrt{2}}{3}r$, altura $= \frac{4}{3}r$
a. $\theta \approx 2.5$ b. $A \approx 171.4 \text{ m}^2.$
$60 \text{ m.}$, $120 \text{ m.}$
$24 \text{ m.}$, $36 \text{ m.}$
a. $3 \text{ dm.}$, $6 \text{ dm.}$, $4 \text{ dm.}$
b. $3\sqrt[3]{2}$, $6\sqrt[3]{2}$, $2\sqrt[3]{2}$
$18 \text{ cm}$, $27 \text{ cm.}$
$8\sqrt{6} \text{ m.}$, $10\sqrt{6} \text{ m.}$
radio $= 1 \text{ dm.}$, altura $= 2 \text{ dm.}$
radio $=$ altura $= \sqrt[3]{2} \text{ dm.}$
radio $=$ altura $= 6 \text{ cm.}$
$80 \text{ km/h.}$
a. $x = 16 \text{ cm}$ b. $x = 16 \text{ cm.}$
radio $= 4\sqrt{6} \text{ cm}$, altura $= 8\sqrt{3} \text{ cm.}$
$13\sqrt{13} \approx 46.87$
$8 \text{ m.}$

Enunciados

(Área Máxima). Hallar las dimensiones de un rectángulo de 72 metros de perímetro que encierra un área máxima.
(Área Máxima). Probar que, entre todos los rectángulos de perímetro fijo, el que encierra un área máxima es el cuadrado.
(Área Máxima). Se quiere cercar un terreno rectangular que está a las orillas de un río. Si se cercan solo tres lados del terreno y se cuenta con 400 metros de alambrada ¿qué dimensiones debe tener el terreno si se quiere que tenga área máxima?
(Construcción de envases). Se construye cajas sin tapa utilizando láminas de cartón cuadrado de 96 centímetros de lado, a las cuales se recorta un pequeño cuadrado en cada esquina ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado cortado si se quiere que la caja tenga volumen máximo?
(Construcción de envases). Se construyen cajas sin tapa utilizando láminas de cartón rectangulares de 21 por 16 centímetros, a las que se le recorta un pequeño cuadrado en cada esquina ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado si se quiere que la caja tenga máximo volumen?

(Construcción de envases). Se construyen cajas con tapa utilizando láminas de cartón rectangulares de 8 por 5 decímetros, a las que se les recortan los cuadrados y rectángulos marcados en la figura adjunta.
¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado si se quiere que la caja tenga máximo volumen?

(Construcción de envases). Se construyen cajas con tapa y caras laterales.
Para esto, se usan láminas de cartón rectangulares de 9 por 6 decímetros, a las que se les recorta los 6 cuadrados indicados en la figura.
¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado si se quiere que la caja tenga máximo volumen?

(Volumen máximo). El reglamento de un servicio de encomiendas exige que la suma de las longitudes (largo, ancho y altura) de cada paquete no exceda $120 \text{ cm}^3$.
Hallar las dimensiones de la caja con base cuadrada que cumpla las regulaciones y tenga máximo volumen.

(Pista de carreras). Se desea construir una pista de carreras de 560 metros que encierre un terreno rectangular, y tenga un semicírculo adjunto a cada uno de los lados opuestos del rectángulo.
Encuentre las dimensiones del rectángulo si este debe tener área máxima,

(Pista de carreras). Se desea construir una pista de carreras de 400 metros de longitud que encierre un terreno con la forma de un rectángulo con semicírculos adjuntos en dos de sus lados opuestos ¿Cuál es el área máxima que puede tener el terreno encerrado?

(Máxima claridad). Se desea construir una ventana con perímetro de 7 metros que tenga la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. ¿Qué dimensiones debe tener si se quiere que permita una máxima claridad?
Sugerencia: A mayor área, mayor claridad.

(Máxima claridad). Una ventana de 18 pies de perímetro está conformada por un rectángulo coronado por un triángulo equilátero.
El vidrio que cubre el rectángulo es más claro que el que cubre el triángulo. Por pie cuadrado, el vidrio del rectángulo deja pasar el doble de luz del que cubre el triángulo.
Hallar las dimensiones de la ventana que permiten una máxima claridad.

(Costo mínimo). Dos puntos $A$ y $B$ están opuestos, uno al otro, en las riberas de un río de 3 kilómetros de ancho.
Un tercer punto $C$ está en la misma ribera que $B$, pero a 7 kilómetros río abajo. Una compañía de telecomunicaciones desea unir los puntos $A$ y $C$ con cableado. Para esto, se debe tender dos cables: uno de $A$ a un punto $P$, en la ribera opuesta, y el otro cable de $P$ a $C$. El tendido del cable en el agua cuesta $17,000 el kilómetro y en tierra cuesta $8,000 el kilómetro.
¿Dónde debe estar localizado el punto $P$ para que el costo sea mínimo?

(Costo mínimo). En el problema anterior, si el tendido de cable en el agua cuesta $13,000 el kilómetro, y en tierra $12,000 ¿dónde debe estar localizado el punto $P$?

(Tiempo mínimo).
Una isla se encuentra a 4.8 kilómetros de una playa recta, donde funciona una tienda ubicada a 6 kilómetros del punto $F$, frente a la isla.
Un hombre que está en la isla quiere ir a la tienda. Si se sabe que el hombre rema a $3\text{ km/h}$ y camina a $5\text{ km/h}$ ¿qué camino debe seguir para llegar a la tienda en el menor tiempo posible?

(Tiempo mínimo). En el problema anterior, si el hombre rema a razón de $4\text{ km/h}$ y camina a razón de $5\text{ km/h}$. ¿qué camino debe seguir?
(Hotelería). El gerente de un hotel de 100 habitaciones sabe que cuando el precio por habitación es de $45, todas las habitaciones son rentadas, mientras que una habitación se desocupa por cada dólar de aumento. Si el precio de mantenimiento de una habitación ocupada es de $5 ¿cuántas habitaciones deben rentarse para obtener máxima ganancia? ¿Cuál debe ser el precio por habitación?
(Agricultura). Una granja está sembrada de mangos a razón de 80 plantas por hectárea. Cada planta produce un promedio de 960 mangos y el promedio de producción por planta se reduce en 10 mangos por cada planta adicional sembrada ¿Cuántas plantas se deben sembrar por hectárea para obtener la máxima producción?

(Área Máxima).
Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un semicírculo de radio $r$.

(Volumen máximo). Se planea construir un canal de concreto para transportar agua a una granja.
La sección transversal del canal es como se indica en la figura, teniendo la base y las paredes laterales una misma longitud $b$.

Hallar el ángulo $\theta$ que permite que el canal transporte el mayor volumen de agua.
Sugerencia: Exprese el área del trapecio en términos de $\theta$ y maximice.

(Área Máxima). Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, que puede inscribirse en la región acotada por las parábolas: \[ y = 4 – \frac{x^2}{3}, \quad y = \frac{x^2}{6} – 2 \]

(Resistencia Máxima). De un tronco circular de radio 3 decímetros, se quiere cortar una viga rectangular de máxima resistencia. Hallar las dimensiones del rectángulo si se sabe que la resistencia de una viga rectangular es directamente proporcional a su ancho y al cuadrado de su altura. Es decir, $R = kah^2$, donde $R$ es la resistencia, $k$ es una constante de proporcionalidad, $a$ es el ancho del rectángulo y $h$ su altura.

(Área Mínima). Un trozo de alambre de 12 metros se corta en dos partes. Una parte se doblará para formar una circunferencia y la otra se doblará para formar un cuadrado ¿Dónde se debe hacer el corte si:

la suma de las áreas es mínima?
la suma de las áreas es máxima?

(Área Máxima). Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo equilátero de 12 centímetros de lado, de modo que un lado del rectángulo descanse sobre un lado del triángulo.

(Área Máxima). Probar que, entre todos los triángulos isósceles de perímetro fijo, el que tiene área máxima es un triángulo equilátero.
(Área Máxima). Probar que, entre todos los triángulos isósceles inscritos en una circunferencia, el que tiene área máxima es un triángulo equilátero.

(Área Máxima). Se inscribe un trapecio en un semicírculo de radio 2, de tal forma que un lado del trapecio coincide con el diámetro. Hallar máxima área posible del trapecio.

(Área lateral máxima). Hallar las dimensiones del cilindro circular recto de área lateral máxima inscrito en una esfera de radio $r$.

(Volumen máximo). Hallar las dimensiones del cono circular recto de volumen máximo inscrito en una esfera de radio $r$.
Sugerencia: $V = \text{Volumen del cono} = \frac{1}{3}\pi x^2 h$
Por semejanza de triángulos: $x^2 = h(2r – h)$
Luego: $V = \frac{1}{3}\pi h^2(2r – h)$

(Área lateral máxima). Hallar las dimensiones del cono circular recto de área lateral máxima inscrito en una esfera de radio $r$ (vea la figura del problema anterior).

Sugerencia: $A = \text{Área lateral del cono} = \pi x g$.

(Volumen máximo). Probar que el volumen del mayor cilindro circular recto inscrito en un cono circular recto es $\frac{4}{9}$ del volumen del cono.

(Área máxima). Se construye una figura conformada por un triángulo isósceles de 10 centímetros de lado, al que se le adjunta un semicírculo, como indica el dibujo adjunto. Hallar:

el ángulo $\theta$ correspondiente a la figura de área máxima.
el área máxima.

Sugerencia: Ver el problema resuelto 1.1.5.

(Cerco mínimo). Se quiere construir una pequeña granja rectangular de 7.200 m² de área en la orilla de un río.
Si solo se requiere cercar tres lados (como indica la figura) ¿qué longitudes deben tener estos lados si quiere invertir la menor cantidad de material en el cerco?

(Cerco mínimo). Se quiere cerrar un terreno rectangular y luego dividirlo en dos partes iguales mediante una cerca, como indica la figura.
El área de terreno encerrado debe ser de 864 m².
Si se desea utilizar la mínima cantidad de cerca ¿qué dimensiones debe tener el rectángulo?

(Área mínima). Se quiere construir una caja cerrada de madera de 72 dm³ de volumen, mientras su base debe ser un rectángulo cuyo largo sea el doble de su ancho.
1. ¿Qué dimensiones debe tener la caja si se quiere que la cantidad de madera de su composición sea mínima?
2. ¿Qué dimensiones debe tener la caja si no tiene tapa?

(Área mínima). Se quiere imprimir un libro en el que los márgenes de sus páginas sean: 3 cm superior e inferior y 2 cm de cada lado. El texto escrito debe ocupar un área de 294 cm².
Si se busca economizar papel ¿qué dimensiones de la página son las más convenientes?

(Área máxima). Se tiene un terreno rectangular de 480 $m^2$, sobre el cual se va a construir una casa que también tendrá forma rectangular. Para los jardines se dejarán 5 metros de frente, 5 metros atrás y 4 metros a los costados. ¿Qué dimensiones debe tener el terreno para que el área de la casa sea máxima?
(Área mínima). Para envasar sus productos, una compañía necesita envases cilíndricos de hojalata de $2\pi \text{ dm}^3$ de capacidad y con tapa. Si se busca usar la mínima cantidad de hojalata ¿qué dimensiones debe tener cada envase?
(Área mínima). Resolver el problema anterior para el caso en que el envase no tenga tapa superior.
(Volumen máximo). Se quiere construir vasos cilíndricos sin tapa, a base de vidrio, compuestos por $108\pi \text{ cm}^2$ de material ¿Qué dimensiones debe tener el vaso si se quiere que contenga la mayor cantidad de líquido?
(Velocidad más económica). Un bus debe hacer un viaje de 500 kilómetros a una velocidad constante de $x \text{ km/h}$. Si la gasolina cuesta $0.5 por litro, el bus consume $2 + \frac{x^2}{200}$ litros por hora, y el conductor cobra $15 por hora ¿cuál es la velocidad más económica?

(Ley de reflexión). Usando el principio de Fermat (la luz viaja de un punto a otro con trayectoria que minimiza el tiempo) probar que: si la luz parte de $A$, se refleja en un espejo y pasa por el punto $B$, entonces el ángulo de incidencia $i$ es igual al ángulo de reflexión $r$.

(Áreas óptimas). La esquina de una hoja de papel de 24 centímetros de ancho se dobla de una forma en que el vértice doblado toca el lado opuesto, como se indica en la figura. Hallar el valor de $x$ para el cual:

el triángulo $A$ tenga área máxima.
el triángulo $B$ tenga área mínima.

(Volumen mínimo). Hallar las dimensiones de un cono circular recto de volumen mínimo que se puede circunscribir en un hemisferio (semiesfera) de 8 centímetros de radio.

(Longitud mínima). Se tiene una pared de 8 pies de altura a 27 pies de distancia de un edificio. Hallar la longitud de la escalera más corta que pueda apoyarse en el suelo, la pared y el edificio.

(Altura mínima). Hallar la altura mínima $h = \overline{OP}$ que debe tener una puerta de una torre para que, a través de ella, pueda pasar un tubo $\overline{AB}$ de longitud $6\sqrt{6} \text{ m}$. tomando en cuenta que el ancho de la torre es $2\sqrt{2} \text{ m}$.