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Bosquejar el gráfico de una función que cumpla las siguientes condiciones:
\( f(2) = -2\), \(f'(2) = 0\), \(f»(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R} \)
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Bosquejar el gráfico de una función que cumpla las siguientes condiciones:
\( f(2) = 2 \), No existe \( f'(2) \), \( f»(x) > 0 \) si \( x < 2 \), \( f''(x) 2 \)
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Si el dibujo adjunto es el gráfico de la derivada de una función continua \( f \), determinar:
- los números críticos de \( f \).
- los intervalos de monotonía.
- los números críticos que correspondan a máximos o mínimos locales.
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Si el dibujo adjunto es el gráfico de la segunda derivada de una función \( f \), determinar:
- los números críticos de segundo orden.
- los intervalos de concavidad.
- los números críticos de segundo orden que correspondan a puntos de inflexión.
En los problemas del 5 al 18, hallar:
- números críticos.
- intervalos de monotonía.
- extremos locales.
- números críticos de S.O.
- intervalos de concavidad.
- puntos de inflexión.
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\[ f(x) = -2x^2 – 8x + 3 \]
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\[ f(x) = x^3 – 3x + 1 \]
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\[ f(x) = x^3 + 3x^2 – 9x + 12 \]
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\[ g(x) = x^4 – 2x^2 + 4 \]
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\[ h(x) = x^4 + 2x^3 – 3x^2 – 4x + 1 \]
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\[ g(x) = \frac{x}{x-2} \]
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\[ f(x) = (x-6)\sqrt{x} \]
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\[ f(x) = 2x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{5}{3}} \]
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\[ g(x) = x|x| \]
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\[ h(x) = x – \ln x \]
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\[ f(x) = x e^x \]
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\[ f(x) = x – 2\operatorname{sen} x, \quad \text{en } [0, 2\pi] \]
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\[ g(x) = \cos^2 x – 2\operatorname{sen} x, \quad \text{en } [0, 2\pi] \]
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\[ h(x) = 2x – \operatorname{sen}^{-1} x, \quad \text{en } [-1, 1] \]
En los problemas 19 y 20, bosquejar el gráfico de la función continua \( f \) que satisface las condiciones dadas.
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\( f'(x) > 0 \) si \( x < 0 \) o \( 0 < x < 3 \), \( f'(x) 3 \)
\( f(0) = 0 \), \( f(1) = 1 \), \( f'(3) = 0 \), \( f(3) = 3 \)
\( f»(x) < 0 \) si \( x < 0 \) o \( 2 < x 0 \) si \( 0 < x 5 \)
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\( f'(x) > 0 \) si \( x < 2 \), \( f'(x) < 0 \) si \( 2 < x 5 \)
\( f(0) = f(4) = 0 \), \( f(2) = 2 \). No existen \( f'(2) \) y \( f'(5) \)
\( f»(x) < 0 \) si \( x < 0 \) o \( 4 < x 0 \) si \( 0 < x < 2 \) o \( 2 < x < 4 \)
En los problemas 21 y 22, se dan las gráficas de la derivada de una función continua \( f \). Determinar:
- los números críticos de \( f \).
- los intervalos de monotonía de \( f \).
- los números críticos que dan lugar a extremos locales.
- los números críticos de segundo orden de \( f \).
- los intervalos de concavidad de \( f \).
- números críticos de segundo orden que dan lugar a puntos de inflexión.
- Esbozar el gráfico.
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En los problemas 23 y 24 se tienen jarrones en los que se vierte agua a una razón constante. En cada caso, esbozar la gráfica de la función altura del agua como función del tiempo \( h = f(t) \), y mostrar su concavidad y los puntos de inflexión.
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En los problemas del 25 al 28, hallar los extremos absolutos de la función dada en el intervalo indicado.
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\[ h(x) = 4x^3 – 3x^4, \quad (-\infty, +\infty) \]
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\[ g(x) = 4 – 2(x-1)^{\frac{2}{3}}, \quad \text{en } [0, +\infty) \]
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\[ g(x) = x \ln x, \quad (0, e] \]
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\[ h(x) = (x+1)e^{-x}, \quad (-\infty, +\infty) \]
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Probar que una función cúbica \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) tiene uno y solo un punto de inflexión.
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Si la función cúbica \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) tiene por raíces a \( r_1 \), \( r_2 \) y \( r_3 \), probar que la abscisa del punto de inflexión es \( x = \frac{1}{3}(r_1 + r_2 + r_3) \).
Sugerencia: \( f(x) = a(x – r_1)(x – r_2)(x – r_3) \)
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Si \( f \) y \( g \) son cóncavas hacia arriba en el intervalo \( I \), probar que \( f + g \) es cóncava hacia arriba en \( I \).
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Si \( f \) es positiva y cóncava hacia arriba en un intervalo \( I \), probar que la función \( g(x) = [f(x)]^2 \) es cóncava hacia arriba.
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Si \( f \) y \( g \) son funciones positivas y cóncavas hacia arriba en el intervalo \( I \), probar que:
- si \( f \) y \( g \) son crecientes, \( fg \) es cóncava hacia arriba en \( I \).
- si \( f \) y \( g \) son decrecientes, \( fg \) es cóncava hacia arriba en \( I \).
