1. \( c = \frac{2}{\sqrt{3}} \)
2. \( c_1 = \frac{\pi}{4}, \, c_2 = \frac{5\pi}{4} \)
3. \( c = 3.2 \)
4. \( c = 1 \)
5. \( c = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
6. \( c = \sqrt{2} \)
7. \( c = 1 + \frac{8}{9}\sqrt{3} \)
8. \( c = \frac{1-\sqrt{1-\ln^2 2}}{\ln 2} \approx 0.4028 \)
9. \( c = \tan^{-1}\left(\frac{3\ln 2}{\pi}\right) \approx 0.6619 \)
10. \( c_1 = -\sqrt{\frac{4-\pi}{\pi}} \approx -0.5227\), \(c_2 = \sqrt{\frac{4-\pi}{\pi}} \approx 0.5227 \)
20. \( g(5) = 20 \)
30. \( c = \frac{\pi}{4} \)
31. \( c = \frac{e}{e-1} \approx 1.58198 \)
32. \( c = \frac{1}{2} \)

En los problemas del 1 al 4, verificar que la función dada satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo indicado. Hallar todos los puntos \( c \) que satisfacen la conclusión del teorema.

1. \[ f(x) = x^3 – 4x, \quad [0, 2] \]
2. \[ g(x) = \operatorname{sen} x + \cos x – 1, \quad [0, 2\pi] \]
3. \[ h(x) = 8x^{\frac{1}{3}} – x^{\frac{4}{3}}, \quad [0, 8] \]
4. \[ f(x) = \frac{1}{2}x – \sqrt{x}, \quad [0, 4] \]

En los problemas del 5 al 10, verificar que la función dada satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo indicado. Hallar todos los puntos \( c \) que satisfacen la conclusión del teorema.

5. \[ f(x) = \sqrt{1-x^2}, \quad [-1, 0] \]
6. \[ g(x) = \frac{1}{x} + x, \quad [1, 2] \]
7. \[ h(x) = 2 + \sqrt[3]{x-1}, \quad [1, 9] \]
8. \[ f(x) = \ln(1+x^2), \quad [0, 1] \]
9. \[ h(x) = \ln \cos x, \quad \left[0, \frac{\pi}{3}\right] \]
10. \[ g(x) = \tan^{-1} x, \quad [-1, 1] \]

11. Probar que la ecuación \( x^5 + 10x + 4 = 0 \) tiene exactamente una raíz real.
12. Si \( a > 0 \), probar que la ecuación \( x^3 + ax – 1 = 0 \) tiene exactamente una raíz real.
13. Probar que \( x^4 + 4x + b = 0 \) tiene, a lo más, dos raíces reales.
    Sugerencia: Si \( f(x) = x^4 + 4x + b \), ¿Cuántas raíces tiene \( f'(x) = 0 \)?
14. Si \( a \) y \( b \) son constantes y \( n \) un natural, probar que la siguiente ecuación tiene, a lo más, tres raíces reales: \[ x^{2n+1} + ax + b = 0 \] Sugerencia: Sea \( f(x) = x^{2n+1} + ax + b \). ¿Cuántas raíces reales tiene \( f»(x) = 0 \)?
15. Si \( a \) y \( b \) son constantes y \( n \) un natural, probar que la ecuación \( x^{2n} + ax + b = 0\) tiene, a lo más, dos raíces reales.
    Sugerencia: Sea \( f(x) = x^{2n} + ax + b \). ¿Cuántas raíces reales tiene \( f»(x) = 0 \)?
16. Probar que la ecuación \( 3\tan x + x^2 = 2 \) tiene exactamente una raíz en \( \left[0, \frac{\pi}{4}\right] \).
17. Si \( P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \), probar que la ecuación \( P'(x) = 0 \) tiene tres raíces reales.
18. Probar que un polinomio de grado 3 tiene, a lo más, 3 raíces reales.
    Sugerencia: Suponga que tiene 4 raíces y razone como en el problema resuelto 4.2.2.
19. Probar que un polinomio de grado \( n \) tiene, a lo más, \( n \) raíces reales.
    Sugerencia: Suponga que tiene \( n+1 \) raíces y razone como en el problema resuelto 4.2.3. No olvides usar inducción.
20. Si \( g(1) = 8 \) y \( g'(x) \ge 3 \) para todo \( x \) ¿cuál es el menor valor posible que puede tener \( g(5) \)?
21. Si \( a \) y \( b \) son reales, y \( n \) un natural, tales que \( 0 < a 1 \); probar que: \[ na^{n-1}(b-a) < b^n – a^n < nb^{n-1}(b-a) \] Sugerencia: Aplicar el teorema del valor medio a \( f(x) = x^n \) en \( [a, b] \).
22. Probar que \( e^x > 1 + x, \ \forall x > 0 \).
23. Probar que:

    1. para cualquier \( x > 1 \) existe \( c \in (1, x) \) tal que \( \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} = \frac{1}{2\sqrt{c}} \).
    2. \( \sqrt{x} 1 \) (usando la parte a).

    Sugerencia: Aplicar el teorema del valor medio a \( f(x) = \sqrt{x} \) en \( [1, x] \).
24. Si \( g \) es impar y diferenciable en \( \mathbb{R} \), demostrar que para todo real \( a > 0 \), existe \( c \in (-a, a) \) tal que \( g'(c) = \frac{g(a)}{a} \).
25. Usando el teorema del valor medio, probar que \( |\operatorname{sen} x – \operatorname{sen} y| \le |x – y| \).
26. Usando el teorema del valor medio, probar que: \[ |\tan^{-1} x – \tan^{-1} y| \le |x – y| \]
27. Probar que \( \tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} \).
28. Probar que \( 2\operatorname{sen}^{-1} x = \cos^{-1} (1-2x^2) \), para \( x \ge 0 \).
    Sugerencia: dada la función \( f(x) = 2\operatorname{sen}^{-1} x – \cos^{-1} (1-2x^2) \), probar que \( f \) es constante: \( f(x) = C \). Luego, mostrar que \( C = 0 \)
29. Probar que: \[ 2\tan^{-1} x + \operatorname{sen}^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right) = \begin{cases} -\pi, & \text{si } x \le -1 \\ \pi, & \text{si } x \ge 1 \end{cases} \]