1. máx. \( = f(0) = 4 \),
   mín. no tiene
2. máx. no tiene,
   mín. \( = g(2) = -1 \)
3. máx. no tiene,
   mín. \( = h(2) = h(-2) = 0 \)
4. máx. no tiene,
   mín. no tiene
5. máx. no tiene,
   mín. no tiene
6. máx. \( = g\left(\frac{4}{3}\right) = 3 \),
   mín. \( = g(3) = \frac{1}{2} \)
7. máx. \( = h(-4) = 6 \), mín. \( = \ln 1 = 0 \)
8. máx. \( = f(1) = 3 \), mín. \( = f(2) = 0 \)
9. \( 0, 2, \frac{8}{3} \)
10. \( \pi + 2n\pi, \, n \in \mathbb{Z} \)
11. \( 0, 2 \)
12. todo \( \mathbb{R} \)
13. \( 1 \)
14. \( 0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3} \)
15. máx. \( = f(3) = \frac{3}{4} \), mín. \( = f(1) = \frac{1}{2} \)
16. máx. \( = f(1) = \frac{1}{2} \),
    mín. \( = f(-1) = -\frac{1}{2} \)
17. máx. \( = f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 – \frac{\pi}{4} \),
    mín. \( = f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} – 1 \)
18. máx. \( = f(3) = 1 \),
    mín. \( = f(-5) = -3 \)
19. máx. \( = f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \),
    mín. \( = f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 \)
20. máx. \( = f\left(\frac{\pi}{6}\right) = f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5}{4} \),   mín. \( f(0) = f(\pi) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \)
21. máx. \( g\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2e^{\pi/4}} \approx 0.322397 \),   mín. \( g\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2e^{5\pi/4}} \approx -0.013932 \)
22. máx. \( f\left(e^{\frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{2e} \approx 0.184 \),   mín. \( = f(1) = 0 \)

En los problemas del 1 al 8, determinar el máximo y mínimo absolutos de la función dada con solo observar el gráfico. Puede usar técnicas de traslación y reflexión para graficar (sección 4.1. del libro Precálculo para Todos).

1. \[ f(x) = 4 – x^2 \]
2. \[ g(x) = |2 – x| – 1 \]
3. \[ h(x) = |4 – x^2| \]
4. \[ f(x) = -x^3 – 2 \]
5. \[ g(x) = \frac{1}{x – 1}, \text{ en } (1, 3) \]
6. \[ g(x) = \frac{1}{x – 1}, \text{ en } \left[\frac{4}{3}, 3\right] \]
7. \[ h(x) = \begin{cases} 2 – x, & \text{si } x < 1 \\ \ln x, & \text{si } x \ge 1 \end{cases} \]

   En \([-4, 4]\)
8. \[ f(x) = \begin{cases} e^x, & \text{si } x < 1 \\ 4 – x^2, & \text{si } x \ge 1 \end{cases} \]

   En \([-1, 2]\)

En los problemas del 9 al 14, hallar los números críticos de la función dada.

9. \[ f(x) = x^2(3x – 8)^{\frac{2}{3}} \]
10. \[ g(x) = x + \operatorname{sen} x \]
11. \[ h(x) = |x^3 – 8| \]
12. \[ f(x) = \lfloor x \rfloor \]
13. \[ h(x) = xe^{-x} \]
14. \[ g(x) = \operatorname{sen}^2 x + \cos x \]

    En \([-1, 2\pi)\)

En los problemas del 15 al 22, determinar el máximo y el mínimo absolutos de la función en el intervalo cerrado indicado.

15. \[ f(x) = \frac{x}{1+x} \text{ en } [1, 3] \]
16. \[ f(x) = \frac{x}{1+x^2} \text{ en } [-2, 3] \]
17. \[ f(x) = \tan x – x \text{ en } \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] \]
18. \[ f(x) = 1 – (x-3)^{\frac{2}{3}} \text{ en } [-5, 4] \]
19. \[ f(x) = \operatorname{sen} x + \cos x \text{ en } \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \]
20. \[ f(x) = \cos^2 x + \operatorname{sen} x \text{ en } [0, \pi] \]
21. \[ g(x) = e^{-x} \operatorname{sen} x \text{ en } [0, 2\pi] \]
22. \[ f(x) = \frac{\ln x}{x^2} \text{ en } [1, e] \]

23. Probar que la función cuadrática: \[ f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0, \] tiene exactamente un número crítico en \(\mathbb{R}\).
24. Probar que la función cúbica \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \), \( a \neq 0 \), puede tener dos, uno o ningún número crítico en \(\mathbb{R}\). Sugerencia: ¿Cuántas raíces puede tener una ecuación de segundo grado?.
25. Probar que un polinomio de grado \( n \) puede tener a lo más \( n-1 \) números críticos en \(\mathbb{R}\).