Máximos y mínimos
En los problemas del 1 al 8 graficar la función, y, solamente observando el gráfico, determinar el máximo y mínimo absolutos. Para graficar, usar las técnicas de traslación y reflexión, explicadas en la sección 4.1. del libro Precálculo para Todos.
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\[ f(x) = 4 - x^2 \]
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\[ g(x) = \mid 2 - x \mid - 1 \]
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\[ h(x) = \mid 4 - x^2 \mid \]
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\[ f(x) = - x^3 -2 \]
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\[ g(x) = \frac{1}{x-1}, \text{ en (1,3)} \]
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\[ g(x) = \frac{1}{x-1}, \text{ en }\left[ \frac{4}{3}, \, 3 \right] \]
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\[ h(x) = \begin{cases} 2 - x, \text{ si } x < 1 \\ \ln x, \text{ si } x \geq 1 \end{cases} \quad \text{ En } \; [-4, 4] \]\[ \begin{aligned} &h(x) = \begin{cases} 2 - x, \text{ si } x < 1 \\ \ln x, \text{ si } x \geq 1 \end{cases} \\[1em] &\hspace{5em} \text{En } \; [-4, 4] \end{aligned} \]
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\[ f(x) = \begin{cases} \mathrm{e}^x, \text{ si } x < 1 \\ 4 - x^2, \text{ si } x \geq 1 \end{cases} \quad \text{ En } \; [-1, 2] \]\[ \begin{aligned} &f(x) = \begin{cases} \mathrm{e}^x, \text{ si } x < 1 \\ 4 - x^2, \text{ si } x \geq 1 \end{cases} \\[1em] &\hspace{5em} \text{En } \; [-1, 2] \end{aligned} \]
En los problemas del 9 al 14 hallar los números críticos de la función dada.
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\[ f(x) = x^2 (3x - 8)^{2/3} \]
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\[ g(x) = x + \text{ sen } x \]
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\[ h(x) = \mid x^3 - 8 \mid \]
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\[ f(x) = \lfloor x \rfloor \]
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\[ h(x) = x \mathrm{e}^{-x} \]
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\[ g(x) = \text{sen}^2 x + \cos x, \quad \text{ En } \,[-1,\, 2\pi) \]\[ \begin{aligned} &g(x) = \text{sen}^2 x + \cos x \\[1em] &\hspace{5em} \text{En } \,[-1,\, 2\pi) \end{aligned} \]
En los problemas del 15 al 22 determinar el máximo y el mínimo absolutos de la función en el intervalo cerrado indicado.
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\[ f(x) = \frac{x}{1+x}, \; \text{ en } [1, 3] \]
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\[ f(x) = \frac{x}{1 + x^2} , \; \text{ en } \, [-2, 3] \]
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\[ f(x) = \tan x - x , \; \text{ en } \, \left[ -\frac{\pi}{4}, \, \frac{\pi}{4} \right] \]
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\[ f(x) = 1 - (x-3)^{2/3} , \; \text{ en } \, [-5, 4] \]
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\[ f(x) = \text{sen} x + \cos x , \text{ en } \left[ -\frac{\pi}{2}, \, \frac{\pi}{2} \right] \]
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\[ f(x) = \cos^2 x + \text{ sen } x , \, \text{ en } \, [0, \, \pi] \]
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\[ g(x) = \mathrm{e}^{-x} \text{ sen } x , \, \text{ en } \, [0, \, 2 \pi] \]
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\[ f(x) = \frac{\ln x}{x^2} , \, \text{ en } \, [1, \, \mathrm{e}] \]
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Probar que la función cuadrática:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c, \, a \neq 0, \]tiene exactamente un número crítico en \(\mathbb{R}\).
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Probar que la función cúbica \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), \(a \neq 0\), puede tener dos, uno o ningún número crítico en \(\mathbb{R}\).
Sugerencia: ¿Cuántas raíces puede tener una ecuación de segundo grado?.
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Probar que un polinomio de grado \(n\) puede tener a lo más \(n - 1\) números críticos en \(\mathbb{R}\).
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Respuestas
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máx. \(= f(0) = 4\), mín. no tiene
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máx. no tiene, mín. \(= g(2) = -1\)
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máx. no tiene, mín. \(= h(2)\) \(= h(-2) = 0\)
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máx. no tiene, mín. no tiene
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máx. no tiene, mín. no tiene
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máx. \(= g \left( \frac{4}{3} \right) = 3\), mín. \(= g(3) = \frac{1}{2}\)
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máx.\(= h(-4) = 6\), mín.\(= \ln 1 = 0\)
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máx.\(= f(1) = 3\), mín.\(= f(2) = 0\)
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\[ 0, \, 2, \, \frac{8}{3} \]
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\[ \pi + 2 n \pi, \, n \in \mathbb{Z} \]
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\[ 0, \, 2 \]
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todo \(\mathbb{R}\)
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\[ 1 \]
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\[ 0, \, \frac{\pi}{3}, \, \pi, \, \frac{5\pi}{3} \]
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máx.\(=f(3) = \frac{3}{4}\), mín.\(= f(1) = \frac{1}{2}\)
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máx.\(= f(1) = \frac{1}{2}\), mín.\(= f(-1)\) \(= – \frac{1}{2}\)
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máx.\(= f \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 – \frac{\pi}{4}\), mín.\(= f \left( -\frac{\pi}{4} \right)\) \(= \frac{ \pi }{4} – 1\)
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máx. \(= f(3) = 1\), mín. \(= f(-5)\) \(= -3\)
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máx.\(= f \left( \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\), mín.\(= f \left( – \frac{\pi}{2} \right)\) \(= -1\)
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máx. \(= f \left( \frac{\pi}{6} \right) = f \left( \frac{5 \pi}{6} \right) = \frac{5}{4}\), mín.\(=\)\(f(0)\) \(= f(\pi) = f \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1\)
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máx. \( = g \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2} }{ 2 \mathrm{e}^{ \frac{\pi}{4} } }\) \( \approx 0.322397\), mín. \( = g \left( \frac{5\pi}{4} \right)\) \(= -\frac{\sqrt{2}}{ 2 \mathrm{e}^{\frac{5\pi}{4}} }\) \(\approx -0.013932\)
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máx. \(= f \left( \mathrm{e}^{ \frac{1}{2} } \right)\) \(= \frac{1}{ 2 \mathrm{e} }\) \(\approx 0.184\), mín.\(= f(1)\) \(= 0\)