1. a. \( \Delta y = 2xdx + (dx)^2 \)

   b. \( dy = 2xdx \)

   c. \( (dx)^2 \)
2. a. \( \Delta y = e^x (e^{\Delta x} – 1) \)

   b. \( dy = e^x dx \)

   c. \( e^x (e^{\Delta x} – 1 – dx) \)
3. a. \( \Delta y = \ln \left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right) \)

   b. \( dy = \frac{dx}{x} \)

   c. \( \ln \left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right) – \frac{dx}{x} \)
4. a. -0.1791

   b. -0.18

   c. 0.0009
5. a. -0.2276278

   b. -0.2302585

   c. 0.0026307

10. \[ dy = -6xe^{-3x^2} \]
11. \[ dy = -\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}} \]
12. \[ dy = \frac{2dx}{3(x+1)^{\frac{4}{3}}(x-1)^{\frac{2}{3}}} \]
13. \[ dy = -\frac{x}{y} dx \]
14. \[ dy = \frac{2x + \sqrt{\frac{y}{x}}}{2y – \sqrt{\frac{x}{y}}} dx \]
15. \[ dy = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{a}{x}} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{x}\right) dx \]

17. 8.9444
18. 3.0092592
19. 6.0185
20. 2.004
21. \( \frac{\pi}{4} + 0.04 \approx 0.8254 \)
22. 0.07
23. 0.24
24. 0.86618

25. a. 86.4 cm

    b. 87.848 cm³

    c. 28.8 cm²

    d. 29.04 cm²
26. \( 3,840\pi \approx 12063.71 \) cm³
27. 2.5 %
28. a. \( 0.64\pi \) m³

    b. 0.75 %
29. a. \( \frac{72}{\pi} \approx 22.92 \) cm²

    b. \( \frac{1}{72} \approx 0.01389 \)

    c. \( \frac{1,296}{\pi^2} \approx 131.312 \)

    d. \( \frac{1}{48} \approx 0.0208 \)
30. a. \( \frac{\pi}{18} \approx 0.174533 \)

    b. 0.504 %
31. a. $27,200

    b. $432

    c. 0.0159

    d. 1.59 %

En los problemas del 1 al 3, hallar:   a. \( \Delta y \)    b. \( dy \)    c. \( \Delta y – dy \)

1. \[ y = x^2 – 1 \]
2. \[ y = e^x \]
3. \[ y = \ln x \]

En los problemas del 4 y 5, calcular:   a. \( \Delta y \)    b. \( dy \)    c. \( \Delta y – dy \), para los valores de \( x \) y \( dx \) dados.

4. \( y = x^2 – 4x\), \(x = -1\), \(dx = 0.03 \)
5. \( y = 10^x\), \( x = 1\), \(dx = -0.01 \)

En los problemas del 6 al 9, se indican aproximaciones lineales de las funciones dadas en \( a = 0 \). Verificar que estas aproximaciones son correctas.

6. \[ \sqrt{x+3} \approx \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{6}x \]
7. \[ \operatorname{sen} x \approx x \]
8. \[ \tan x \approx x \]
9. \[ e^x \approx 1 + x \]

En los problemas del 10 al 15, hallar \( dy \).

10. \[ y = e^{-3x^2} \]
11. \[ y = \sqrt{1-x^2} \]
12. \[ y = \sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1}} \]
13. \[ x^2 + y^2 = 25 \]
14. \[ x^2 + 2\sqrt{xy} – y^2 = 1 \]
15. \[ y = \sqrt{\frac{x}{a}} – \sqrt{\frac{a}{x}} \]

16. Probar que, para valores pequeños de \( |\Delta x| \), se cumple que: \[ \sqrt[n]{x + \Delta x} \approx \sqrt[n]{x} + \frac{\Delta x}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} \]

En los problemas del 17 al 22, hallar un valor aproximado de la expresión indicada.

17. \[ \sqrt{80} \]
18. \[ \sqrt[4]{82} \]
19. \[ \sqrt[3]{218} \]
20. \[ \sqrt{2 + \sqrt[3]{8.2}} \]
21. \[ \tan^{-1}(e^{0.08}) \]
22. \[ \ln 1.07 \]

23. Aproximar el valor de \( \cos^4 \left(\frac{\pi}{4} + 0.01\right) \).
24. Aproximar el valor de \( \operatorname{sen}(60^\circ 1′) \). Sugerencia: \( 60^\circ 1′ = \frac{\pi}{3} + \frac{1}{60} \left(\frac{\pi}{180}\right) \).
25. Si un cubo de metal tiene 12 cm de arista, y esta aumenta en 0.2 cm:

    1. con la diferencial el incremento del volumen.
    2. hallar el valor exacto del incremento.
    3. con la diferencial el incremento del área total.
    4. hallar el incremento exacto del área total.
26. Se tiene un tubo de hierro de 8 metros de largo, 6 centímetros de radio y 0.4 centímetros de espesor. Usando la diferencial, aproximar el volumen de hierro del tubo. El volumen de un cilindro circular recto es \( V = \pi r^2 h \), donde \( r \) es el radio y \( h \) la altura.
27. Se quiere calcular el área \( A \) de una esfera a partir del radio \( r \) mediante la fórmula \( A = 4\pi r^2 \), y que el margen de error sea de 5 %. Estimar el margen de error porcentual con el que debe medirse el radio.
28. Al medir el radio de una esfera se obtiene 4 metros. Si esta medida es segura hasta 0.01 metros, estimar:

    1. el margen de error al calcular el volumen de la esfera.
    2. el margen de error porcentual.
29. Si al medir una circunferencia mayor de una esfera se obtiene 72 centímetros, con un margen de error de 0.5 centímetros, estimar:

    1. el margen de error al calcular el área de la esfera (\( A = 4\pi r^2 \)).
    2. el margen de error relativo al calcular el área.
    3. el margen de error al calcular el volumen de la esfera (\( V = \left(\frac{4}{3}\right)\pi r^3 \)).
    4. el margen de error relativo al calcular el volumen.

    Sugerencia: \( C = 2\pi r \) y \( dC = 2\pi dr \).
30. Un cateto de un triángulo rectángulo mide exactamente 30 centímetros. Si al medir el ángulo opuesto a este cateto se obtiene \( 60^\circ \), con un margen de error de \( 0.5^\circ \), estimar:

    1. margen de error al calcular la hipotenusa.
    2. el margen de error porcentual al calcular la hipotenusa.
31. Se estima que el próximo mes se venderán 8,000 unidades de cierto producto. Esta estimación tiene un margen de error de 3 %, y la función ganancia es: \[ G(x) = 5x – 0.0002x^2 \text{ dólares,} \] donde \( x \) es el número de unidades vendidas por mes.

    1. la ganancia que dejarán los 8,000 artículos.
    2. Estimar el margen de error de la ganancia con el cálculo anterior.
    3. Estimar el margen de error relativo.
    4. Estimar el margen de error porcentual.