Cal. Diferencial Sec. 3.6

Razón de cambio

El consumo anual de gasolina de cierto país es \(C(t) = 32.8 + 0.3t + 0.15t^2\) donde \(C(t)\) es dado en millones de litros y \(t\) es dado en años computados al iniciarse el año 2004.

Hallar la tasa de consumo anual al iniciarse el año 2010.
Se ha determinado que dentro de \(t\) años la población de una comunidad será de \(P(t) = 12 - \frac{20}{t+3}\) miles de habitantes. Hallar:
1. La tasa de crecimiento después de 7 años.
2. La tasa porcentual después de 7 años. Tasa porcentual \(= 100 \frac{P'(t)}{P(t)}\).
Se arroja una piedra a un estanque y produce olas circulares cuyos radios crecen a razón de 0.5 \(m/seg\). Hallar la razón con que aumenta el área del círculo encerrado por una ola cuando el radio de ésta es de 3 \(m\).
Un tanque de agua tiene la forma de un cono invertido de 15 \(m\). de altura y 5 \(m\). de radio. Si se le está llenando de agua a razón de \(6\pi \; m^3\) por minuto. ¿Con qué rapidez crece el nivel del agua cuando éste tenga 6 \(m\). de profundidad?
Los extremos de una escalera de 20 \(m\). están apoyados sobre una pared vertical y un piso horizontal. Si el extremo inferior de la escalera se aleja de la pared a una velocidad de 6 \(m/min\). ¿A qué velocidad se mueve el extremo superior cuando la parte inferior está a 12 \(m\). de la pared?
Un barco navega con dirección Norte a razón de 6 \(Km/h\). Otro barco navega con dirección Este a 8 \(Km/h\). A las 11 A.M. el segundo barco cruzó la ruta del primero en un punto en el cual éste pasó 2 horas antes. ¿Cómo está cambiando la distancia de los barcos a las 10 A.M.? .
Desde la parte superior de un poste de 7.2 \(m\). alumbra una bombilla. Un policía de 1.80 \(m\). de altura se aleja caminando desde el poste, a una velocidad de 48 \(m/min\). ¿Con qué velocidad crece su sombra?.
Se estaciona un bote en el muelle halándolo con una polea que está a 16 pies encima de la cubierta del bote.

Si la polea enrolla la cuerda a razón de 48 \(pies/min\), hallar la velocidad del bote cuando quedan 20 pies de cuerda.

Si la polea enrolla la cuerda a razón de 48 \(pies/min\), hallar la velocidad del bote cuando quedan 20 pies de cuerda.
Una partícula se mueve sobre la parábola \(y = x^2+ 6x\). Hallar la posición de la partícula cuando la razón de cambio de la coordenada \(y\) es 4 veces la razón de cambio de la coordenada \(x\).
Cada lado de un triángulo equilátero mide \(x\) \(cm\). y aumenta a razón de 10 \(cm /min\).

¿Con que rapidez aumenta el área del triángulo cuando \(x = 20\) \(cm\)?
Las dimensiones de un cilindro circular recto están variando. En un cierto instante, el radio y la altura son 8 \(cm\). y 20 \(cm\)., respectivamente. Si el volumen permanece constante y el radio aumenta a razón de 3 \(cm/seg\)., hallar la variación de la altura en ese instante.
El gas de un globo esférico se escapa a razón de 360 \(pies^3/min\). Hallar:
1. La rapidez con que disminuye el radio en el instante en que éste es de 3 pies.
2. La rapidez con que disminuye el área de la superficie en el instante en que el radio es de 3 pies. Se sabe que el área de la superficie esférica es \(A = 4 \pi r^2\).
Sean \(V\), \(A\) y \(r\) el volumen, el área de la superficie y el radio de una esfera respectivamente.

Probar que: \(\frac{dV}{dt} = \frac{r}{2} \frac{dA}{dt}\).

Se sabe que: \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\) y \(A = 4 \pi r^2\).
En cada uno de los extremos de un cilindro circular recto de radio \(r\) y altura \(h\) se coloca una semiesfera de radio \(r\). El radio aumenta a razón de 0.5 \(m/min\). Si el volumen permanece constante, hallar la razón de variación de la altura en el instante en que \(r = 4\) \(m\). y \(h = 6\) \(m\).
Un avión vuela horizontalmente a una altura constante de 900 \(m\). de altura y con velocidad constante. La trayectoria pasa sobre una estación de radar desde donde el operador observa el avión. Cuando el ángulo de inclinación de la línea de observación es de \(\pi/3\), este ángulo está cambiando a razón de \(\frac{1}{45} \, rad/seg\). Hallar la velocidad del avión.
En una planta de materiales de construcción una cinta transportadora deposita arena en el piso a razón de \(3 \, m^3/min\).

El arena forma un cono cuyo diámetro de la base es 3 veces la altura.

Hallar con que rapidez cambia la altura del cono cuando ésta es de \(2 \, m\).

El arena forma un cono cuyo diámetro de la base es 3 veces la altura.

Hallar con que rapidez cambia la altura del cono cuando ésta es de \(2 \, m\).
Un tanque tiene \(5 \, m\). de largo. Su sección transversal es un triángulo rectángulo isósceles.

Se vierte agua al tanque a razón de \(15 \, m^3/hora\).

¿Con qué rapidez sube el nivel del agua cuando éste tiene \(0.5 \, m\). de profundidad?.

Se vierte agua al tanque a razón de \(15 \, m^3/hora\).

¿Con qué rapidez sube el nivel del agua cuando éste tiene \(0.5 \, m\). de profundidad?.

Sugerencia: En un triángulo rectángulo isósceles, la altura correspondiente al ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa.
Una piscina tiene \(50 \, m\). de largo, \(25 \,m\). de ancho.

Su profundidad aumenta uniformemente de \(1.5 \, m\). a \(5.5 \, m\). en una distancia horizontal de \(20 \, m\)., continuando horizontalmente los \(30 \, m\). restantes.

La piscina se llena a razón de \(120 \, m^3/hora\).

Su profundidad aumenta uniformemente de \(1.5 \, m\). a \(5.5 \, m\). en una distancia horizontal de \(20 \, m\)., continuando horizontalmente los \(30 \, m\). restantes.

La piscina se llena a razón de \(120 \, m^3/hora\).

¿Con qué rapidez sube el nivel del agua en el instante en que éste está a \(3 \, m\). de la parte más profunda?.
Un tanque tiene la forma de un cono circular recto truncado de \(6 \, m\). de altura, de \(5 m.\) de radio mayor y \(3 \, m.\) de radio menor.

El tanque se está desaguando a razón de \(16.9 \pi \; m^3/hora.\)

Hallar la rapidez con que baja el nivel del agua cuando éste tiene \(4\, m.\)

Sugerencia: El volumen \(V\) de un cono circular recto truncado de altura \(h\) radios \(r\) y \(R\) en los extremos es:

\[ V = \frac{\pi}{3} h \left( r^2 + R^2 + rR \right) \]

El tanque se está desaguando a razón de \(16.9 \pi \; m^3/hora.\)

Hallar la rapidez con que baja el nivel del agua cuando éste tiene \(4\, m.\)

Sugerencia: El volumen \(V\) de un cono circular recto truncado de altura \(h\) radios \(r\) y \(R\) en los extremos es:

\[ V = \frac{\pi}{3} h \left( r^2 + R^2 + rR \right) \]
Un campo de béisbol es un cuadrado de 90 pies de lado.

Un jugador está corriendo de la primera base a la segunda con una velocidad de \(17 \, pies/seg.\)

Hallar la velocidad con que se acerca el jugador a la tercera base en el instante en que éste se encuentra a 60 pies de la primera base.

Un jugador está corriendo de la primera base a la segunda con una velocidad de \(17 \, pies/seg.\)

Hallar la velocidad con que se acerca el jugador a la tercera base en el instante en que éste se encuentra a 60 pies de la primera base.
Un edificio de \(60 \, m\). proyecta su sombra sobre el piso horizontal. El ángulo que forman los rayos solares con el piso disminuye a razón de \(15^\circ\) por hora. En determinado instante del día la sombra del edificio es de \(80 \, m.\)

Hallar la razón en que cambia la sombra en ese instante.
Un avión se eleva con un ángulo de inclinación de \(30^{\circ}\) y a una velocidad constante de \(600 \, Km/hora\).

El avión pasa a \(2\, Km\). por encima de un punto \(P\) en el suelo.

Hallar la razón de cambio de la distancia de \(P\) al avión 1 minuto más tarde.

Sugerencia: ley de los cosenos:

\[ d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha \]

El avión pasa a \(2\, Km\). por encima de un punto \(P\) en el suelo.

Hallar la razón de cambio de la distancia de \(P\) al avión 1 minuto más tarde.

Sugerencia: ley de los cosenos:

\[ d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha \]
Una escalera de \(13 \, m.\) de longitud está apoyada sobre un talud inclinado a \(60^{\circ}\) respecto de la horizontal.

La base es empujada hacia el talud a razón de \(2.9\, m/seg.\)

Hallar la rapidez con que se desplaza el extremo superior de la escalera cuando la base está a \(5 \,m.\) del talud.

La base es empujada hacia el talud a razón de \(2.9\, m/seg.\)

Hallar la rapidez con que se desplaza el extremo superior de la escalera cuando la base está a \(5 \,m.\) del talud.

Sugerencia: Ver la ley de los cosenos en el problema anterior.
Un faro está situado a \(2 \, Km\). de una playa recta y su luz gira a razón de 2 revoluciones por minuto.

Hallar la rapidez con que se mueve el rayo de luz a lo largo de la playa en el momento en que éste pasa por un punto situado a \(1 \, Km.\) del punto frente al faro.
Una bombilla alumbra desde el extremo superior de un poste de 60 pies de altura. Desde un punto situado a la misma altura se suelta una pelota de acero, cuya trayectoria está a 20 pies de distancia de la bombilla.

Hallar la velocidad con que se mueve la sombra 0.5 segundos después de soltarla. Recordar que la posición de la pelota, después de \(t\) segundos, es \(s = 16t^2\).
Un policía de 6 pies de altura está haciendo guardia a 12 pies del punto \(P\) que está directamente debajo de una lámpara con batería interna, que cuelga a 28 pies sobre el suelo.

La lámpara comienza a caerse por lo cual la sombra del policía comienza a crecer.

Se sabe que la longitud de la trayectoria de la lámpara es \(s = 16t^2\) pies en \(t\) segundos.

¿Con qué velocidad crece la sombra cuando \(t = 1\) segundo?

La lámpara comienza a caerse por lo cual la sombra del policía comienza a crecer.

Se sabe que la longitud de la trayectoria de la lámpara es \(s = 16t^2\) pies en \(t\) segundos.

¿Con qué velocidad crece la sombra cuando \(t = 1\) segundo?
Dos resistencias, \(R_1\) y \(R_2\), están conectadas en paralelo.

Se sabe que la resistencia total \(R\) es tal que:

\[ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \]

\(R_1\) cambia a razón de \(0.5 \, Homs/seg.\) y \(R_2\) cambia a razón de \(0.3 \, ohms/seg.\)

Se sabe que la resistencia total \(R\) es tal que:

\[ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \]

\(R_1\) cambia a razón de \(0.5 \, Homs/seg.\) y \(R_2\) cambia a razón de \(0.3 \, ohms/seg.\)

¿Cómo cambia \(R\) cuando \(R_1 = 60 \; ohms\) y \(R_2 = 80 \; ohms\)?
Sabiendo que un trozo de hielo esférico se derrite a una razón proporcional al área de su superficie:
1. Probar que la razón con que se contrae su radio es constante.
2. Si, además se sabe que después de una hora el hielo que queda es un 1/8 de la cantidad inicial, hallar el tiempo que tardará en derretirse completamente.
  
  Sugerencia: Si \(r_0\) es el radio inicial \(y = k\), entonces:
  
  \[ r = kt + r_0 \]