Cal. Diferencial Sec. 3.3

Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

En los problemas del 1 al 13 hallar la derivada de las funciones especificadas.

1. \[ y = \text{sen}^{-1} \left( \frac{x}{9} \right) \]
2. \[ y = \sec^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) \]
3. \[ y = \text{sen}^{-1} \sqrt{x} \]
4. \[ y = \tan^{-1} \left( x^2 + 1 \right) \]
5. \[ y = \cot^{-1} \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) \]
6. \[ y = x \sqrt{ 4 - x^2 } + 4 \text{sen}^{-1} (x/2) \]
7. \[ y = \sqrt{ 1 - x^2 } + x \text{ cosec}^{-1} (1/x) \]
8. \[ y = \text{sen}^{-1} \sqrt{ \text{sen} x } \]
9. \[ y = \tan^{-1} \left[ \frac{1}{2} \left( \mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x} \right) \right] \]
10. \[ y = \cos^{-1} ( \ln x ) \]
11. \[ y = \tan^{-1} x + \cot^{-1} x \]
12. \[ y = \tan \left( \cos^{-1} x \right) \]
13. \[ y = 2 \cos^{-1} \left( 1 - \frac{x}{2} \right) + \sqrt{4x - x^2} \]

En los problemas 14 y 15 hallar la derivada \(\boldsymbol{y'}\).

14. \[ \tan^{-1} (x + y) = x \]
15. \[ xy = \tan^{-1} (x/y) \]

16. Hallar la recta tangente a la curva \(f(x) = \tan^{-1} (3/x)\) en el punto donde \(x = 3\).

17. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:

    \[ y = \cos^{-1} \left[ \sqrt{2} ( x - 1/2 ) \right], \quad \text{ en el punto donde }\; x = 0. \]
    \[ \begin{aligned} &y = \cos^{-1} \left[ \sqrt{2} ( x - 1/2 ) \right], \\[1em] &\hspace{2em}\text{en el punto donde }\; x = 0. \end{aligned} \]

18. Probar las fórmulas (2), (3) y (6) del teorema 3.3.1.

19. Sea la función: \(f(x) = \left( \cos^{-1} x + \text{ sen}^{-1} x \right)^n, \; -1 \leq x \leq 1\).

    Sea la función:

    \[ \begin{aligned} &(f(x) = \left( \cos^{-1} x + \text{ sen}^{-1} x \right)^n, \\[1em] &\hspace{8em} 1 \leq x \leq 1 \end{aligned} \]

    Verificar que \(f'(x) = 0, \, \forall \, x\)   tal que   \(-1 \leq x \leq 1\).

20. Sea la función: \(f(x) = 2 \tan^{-1} \sqrt{x} - \text{ sen}^{-1} \left( \frac{x-1} {x+1} \right)\),   donde   \(x \geq 0\).

    Verificar que \(f'(x) = 0, \, \forall \, x\)   tal que   \(x \geq 0\).