Cal. Diferencial Sec. 3.1

Derivación implícita y teorema de la función inversa

En los problemas del 1 al 23, hallar $\boldsymbol{ \frac{dy}{dx}}$ derivando implícitamente. Las letras $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{c}$, $\boldsymbol{r}$ y $\boldsymbol{p}$ denotan constantes.

\[ 3x^2 - 4y = 1 \]
\[ xy - x^2 = 5 \]
\[ y^2 = 4px \]
\[ 3xy^2 - x^2y^2 = x + 1 \]
\[ \frac{1}{x} + y^2 = 2x \]
\[ x^3 + \frac{1}{y} = xy \]
\[ (y^2 - 2xy)^2 = 4y - 3 \]
\[ \frac{y}{x - y} - x^3 - 1 = 0 \]
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
\[ x + 2 \sqrt{xy} + y = b \]
\[ x^2 - 2axy + y^2 = 0 \]
\[ \sqrt{x} + \sqrt{y} = b \]
\[ \sqrt{y} + \sqrt[3]{y} = x \]
\[ a \cos^2 (x + y) = b \]
\[ \tan y = xy \]
\[ \cot (xy) = xy \]
\[ \cos ( x - y ) = y \text{ sen } x \]
\[ y = 1 + x \mathrm{e}^y \]
\[ y \mathrm{e}^{y} = \mathrm{e}^{x+1} \]
\[ 2 y \ln y = x \]
\[ 2 y \ln y = x \]
\[ \ln x + \mathrm{e}^{-y/x} = c \]
Sea la función $f(x) = 5 - x - x^3$.
1. Probar que $f$ tiene inversa en $\mathbb{R}$.
2. Hallar $\left(f^{-1} \right)'(3)$.
3. Hallar la recta tangente al gráfico de $f$ en el punto $(1, \, 3)$.
4. Hallar la recta tangente al gráfico de $f^{-1}$ en el punto $(3, \, 1)$.
Sea la función $g(x) = x^4 + 3x^2 - 2$.
1. Probar que $g$ tiene inversa en $(0, \, +\infty)$.
2. Hallar $\left( g^{-1} \right)'(2)$
3. Hallar la recta tangente al gráfico de $g$ en el punto $(1, \, 2)$.
4. Hallar la recta tangente al gráfico de $g^{-1}$ en el punto $(2, \, 1)$.
Sea la función $h(x) = \frac{ \mathrm{e}^{2x} - 1 }{ \mathrm{e}^{2x} + 1 }$.
1. Probar que $h$ tiene inversa en $\mathbb{R}$.
2. Hallar $\left( h^{-1} \right)'(0)$.
3. Hallar la recta tangente al gráfico de $h$ en el punto $(0, \, 0)$.
4. Hallar la recta tangente al gráfico de $h^{-1}$ en el punto $(0, \, 0)$.

En los problemas del 27 al 32, hallar la recta tangente a la curva en el punto indicado.

\[ y^2 - 4x - 16 = 0; \; (-3, \, 2) \]
\[ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1; \; (-5, \, -8/3) \]
\[ x^2 - x \sqrt{xy} - 2y^2 = 0; \; (-1, \, -1) \]
\[ y^4 + 6xy = 4x^4; \; (-1, \, 2) \]
$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{3} = 1$; en los puntos donde $x = 3$.
$\left( \frac{x}{a} \right)^{2n} + \left( \frac{y}{b} \right)^{2n} = 2$; en los puntos donde $x = a$.
Hallar la recta tangente a la Lemniscata de Bernoulli:

\[ 2 \left( x^2 + y^2 \right)^2 = 25 \left( x^2 - y^2 \right), \]

en el punto $(3, \, 1)$.

$2 \left( x^2 + y^2 \right)^2 = 25 \left( x^2 - y^2 \right)$, en el punto $(3, \, 1)$.

Lemniscata de Bernoulli
Probar que la tangente a la hipérbola $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ en un punto: $P = (x_0, \, y_0)$ tiene la siguiente ecuación:

\[ \frac{x x_0}{a^2} - \frac{y y_0}{b^2} = 1 \]
Probar que el segmento de la tangente a la hipérbola $xy = a^2$, limitado por los ejes coordenados, tiene por punto medio el punto de tangencia.
Probar que la suma de las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes coordenados de una tangente cualquiera a la curva:

\[ x^{1/2} + y^{1/2} = b^{1/2} \]

es igual a $b$.

En los problemas 37 y 38 hallar el ángulo de intersección de las curvas dadas.

\[ x^2 + y^2 - 4x -1 = 0, \quad x^2 + y^2 + 2y - 9 = 0 \]

\[ \begin{aligned} &x^2 + y^2 - 4x -1 = 0, \\[1em] &x^2 + y^2 + 2y - 9 = 0 \end{aligned} \]
\[ y = x^2, \quad y = x^3 \]
Probar que la elipse $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} =1$ y la hipérbola $x^2 - y^2 = 5$ se cortan ortogonalmente.
Probar que la Cisoide de Diocles, $(2a - x)y^2 = x^3$ y la circunferencia $x^2 + y^2 = 8ax$ se cortan:
1. En el origen, ortogonalmente.
2. En los otros puntos, con un ángulo de $45^{\circ}$.
Cisoide de Diocles

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\[ \frac{dy}{dx} = \frac{3x}{2} \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{2x – y}{x} \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{2p }{y} \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1 + 2 x y^2 – 3 y^2}{ 6xy – 2 x^2 y } \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1 + 2 x^2}{ 2 x^2 y } \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{ \left( 3 x^2 – y \right) y^2 }{ 1 + xy^2 } \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{ y^3 – 2xy^2 }{ y^3 – 3 xy^2 + 2x^2 y – 1 } \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 3x (x – y)^2 \]
\[ \frac{dy}{dx} = – \frac{x}{y} \]
\[ \frac{dy}{dx} = – \frac{b^2 x}{ a^2 y } \]
\[ \frac{dy}{dx} = – \frac{\sqrt{y}}{ \sqrt{x} } \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{ x – ay }{ ax – y } \]
\[ \frac{dy}{dx} = – \frac{\sqrt{y}}{ \sqrt{x} } \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{ 6 \sqrt{y} \sqrt[3]{ y^2 } }{ 2 \sqrt{y} + 3 \sqrt[3]{ y^2 } } \]
\[ \frac{dy}{dx} = -1 \]
\[ y’ = \frac{y}{ \sec^2 y – x } = \frac{y \cos^2 y}{ 1 – x \cos^2 y } \]
\[ y’ = – \frac{y}{x} \]
\[ y’ = \frac{ \text{ sen } ( x – y) + y \cos x }{ \text{ sen } (x – y) – \text{ sen } x } \]
\[ y’ = \frac{ \mathrm{e}^y }{ 1 – x \mathrm{e}^y } = \frac{\mathrm{e}^y}{ 2 – y } \]
\[ y’ = \frac{ \mathrm{e}^{ x + 1 } }{ \mathrm{e}^y + y \mathrm{e}^y } = \frac{1}{ 1 + y } \mathrm{e}^{ x – y + 1 } \]
\[ y’ = 2^{ x – y } \frac{ 2^y – 1 }{ 1 – 2^x } \]
\[ y’ = \frac{ 1 }{ 2 ( 1 + \ln y ) } \]
\[ y’ = \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} + \frac{y}{x} \]
1. \[ \left( f^{-1} \right)’ (3) = -\frac{1}{4} \]
2. \[ y + 4x = 7 \]
3. \[ 4y + x = 7 \]
1. \[ \left( g^{-1} \right)’ (2) = \frac{1}{10} \]
2. \[ y – 10x = -8 \]
3. \[ 10y – x = 8 \]
1. \[ \left( h^{-1} \right)’ (0) = 1 \]
2. \[ y = x \]
3. \[ y = x \]
\[ x – y + 5 = 0 \]
\[ 5x – 6y + 9 = 0 \]
\[ y – x = 0 \]
\[ 14x + 13y – 12 = 0 \]
$9x + 20 \sqrt{3} y – 75 = 0$. $-9x + 20 \sqrt{3} y + 75 = 0$
$\cfrac{ x }{a} + \cfrac{y}{b} = 2$ en $(a, \, b)$ y $\cfrac{x}{a} – \cfrac{y}{b} = 2$ en $(a, \, -b)$
\[ 9x + 13y – 40 = 0 \]

$45^{\circ}$ en $(1, \, 2)$ y en $(3, \, -2)$
$0^{\circ}$ en $(0, \, 0)$ y $9^{\circ} \, 2’$ en $(1, \, 1)$