Derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas
En los problemas del 1 al 9, hallar la derivada de la función dada.
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\[ y = \sqrt{x} \mathrm{e}^x \]
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\[ y = \left( \frac{1}{2} \right)^x \]
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\[ y = x^2 2^x \]
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\[ y = x^2 \mathrm{e}^{-x} \]
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\[ y = \mathrm{e}^x \ln x \]
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\[ y = 2^x \log_2 x \]
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\[ y = \frac{ \ln x }{ \mathrm{e}^x } \]
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\[ y = \frac{ \log_2 x }{ 2^x } \]
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\[ y = \frac{1 + \ln x}{ 1 - \ln x } \]
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Hallar la recta tangente horizontal a la curva \( y = \frac{ \mathrm{e}^x }{ 1 + x^2 } \).
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Hallar la recta tangente al gráfico de \(f(x) = x \mathrm{e}^{-x}\) en el punto donde \(x = - 1\).
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Hallar la recta tangente al gráfico de \(g(x) = \frac{4 - x}{ \ln x }\) en el punto donde \(x = 4\).
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Respuestas
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\[ y’ = \left( \sqrt{x} + \frac{1}{ 2 \sqrt{x} } \right) \mathrm{e}^x \]
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\[ y’ = -2^{-x} \ln 2 \]
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\[ y’ = \left( (\ln 2) x^2 + 2x\right) 2^x \]
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\[ y’ = \left( -x^2 + 2x \right) \mathrm{e}^{-x} \]
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\[ y’ = \left( \frac{1}{x} + \ln x \right) \mathrm{e}^x \]
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\[ y’ = \left( \frac{1}{x \ln 2} + \ln 2 \log_2 x\right) 2^x \]
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\[ y’ = \frac{1 – x \ln x}{x \mathrm{e}^x} \]
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\[ y’ = \frac{1 – (\ln 2)^2 x \log_2 x}{(\ln 2) x 2^x} \]
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\[ y’ = \frac{2}{ x (1 – \ln x)^2 } \]
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\[ y = \frac{\mathrm{e}}{2} \]
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\[ y – 2 \mathrm{e} x – \mathrm{e} = 0 \]
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\[ (2 \ln 2)y + x – 4 = 0 \]