Cal. Diferencial Sec. 2.1

La derivada

En los problemas del 1 al 9, hallar la derivada de la función en el punto \(a\) indicado.

1. \[ f(x) = 2 \quad \text{ en } \quad a = 1 \]
2. \[ g(x) = x \quad \text{ en } \quad a = 3 \]
3. \[ h(x) = 3x \quad \text{ en } \quad a = 2 \]
4. \[ f(x) = 4x - 1 \quad \text{ en } \quad a = 2 \]
5. \[ g(x) = 2x^2- 5 \quad \text{ en } \quad a = -1 \]
6. \[ h(x) = \frac{3}{x} \quad \text{ en } \quad a = -2 \]
7. \[ f(x) = 3x^2-5 \quad \text{ en } \quad a = -1 \]
8. \[ g(x) = x + \frac{1}{x} \quad \text{ en } \quad a = 2 \]
9. \[ h(x) = x^3 + 2 \quad \text{ en } \quad a = -1 \]

10. Probar que la siguiente función es diferenciable en 0:

    \[ f(x) = \begin{cases} x^2, \, \text{ si } \, x=0 \\ \hspace{.5em} 0, \, \text{ si } \, x>0 \end{cases} \]

11. Probar que la siguiente función no es diferenciable en 0:

    \[ f(x) = \begin{cases} 1+x, \, \text{ si } \, x=0 \\ 1-x, \, \text{ si } \, x>0 \end{cases} \]

12. Hallar los valores de \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea diferenciable en 1:

    \[ f(x) = \begin{cases} ax+b, \, \text{ si } \, x < 1 \\[.5em] \hspace{1.5em} \sqrt[3]{x}, \, \text{ si } \, x \geq 1 \end{cases} \]

En los problemas del 13 al 21, hallar la derivada de la función indicada.

13. \[ f(x) = 2 \]
14. \[ g(x) = x \]
15. \[ h(x) = 3x \]
16. \[ f(x) = 4x - 1 \]
17. \[ g(x) = 2x^2 - 5 \]
18. \[ h(x) = \frac{3}{x} \]
19. \[ f(x) = 3x^2 - 5 \]
20. \[ g(x) = x + \frac{1}{x} \]
21. \[ h(x) = x^3 + 2 \]

22. Dada la función \(f(x) = x^3 + x^2\)

    1. Hallar la pendiente de la recta tangente al gráfico de \(f\) en el punto donde \(x = 1\).

    2. Hallar la recta tangente al gráfico de \(f\) en el punto donde \(x = 1\).

    3. Hallar la recta normal al gráfico de \(f\) en el punto donde \(x = 1\).

23. Dada la función \(g(x) = \sqrt{x-3}\)

    1. Hallar la pendiente de la recta tangente al gráfico de \(g\) en el punto donde \(x =12\).

    2. Hallar la recta tangente al gráfico de \(g\) en el punto donde \(x = 12\).

    3. Hallar la recta normal al gráfico de \(g\) en el punto donde \(x = 12\).

24. Dada la función \(h(x) = \frac{1}{2} x^2 - x + 7\)

    1. Hallar su función derivada.

    2. ¿En qué punto del gráfico de \(h\) la tangente es paralela a la recta \(y = 3x + 6\)?.

    3. Hallar la recta tangente al gráfico de \(h\) en el punto encontrado en la parte b.

25. Dada la función \(f(x) = \sqrt{2x + 1}\)

    1. Hallar la función derivada de \(f\).

    2. Una tangente al gráfico de \(f\) tiene por pendiente \(\frac{1}{2}\). Hallar una ecuación de esta tangente.