1. \[ 0, 0 \]
2. \[ 0, 0 \]
3. \[ 1, 1 \]
4. \[ +\infty, -\infty \]
5. \[ \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \]
6. \[ +\infty, -\infty \]
7. \[ -\infty, +\infty \]
8. \[ 1, 1 \]
9. \[ +\infty, +\infty \]
10. \[ +\infty \]
11. \[ +\infty \]
12. \[ 1 \]
13. \[ 0 \]
14. \[ +\infty \]
15. \[ -2 \]
16. \[ 0 \]
17. \[ +\infty \]
18. \[ \frac{5}{2} \]
19. \[ 0 \]
20. \[ 2 \]
21. \[ -2 \]
22. \[ \frac{1}{2} \]
23. \[ 0 \]
24. \[ \frac{1}{2} \]
25. \[ 0 \]
26. \[ 1 \]
27. \[ -1 \]
28. \[ 1 \]
29. \[ 0 \]
30. \[ 0 \]
31. \[ 0 \]
35. \[ y = 0 \]
36. \[ y = 0 \]
37. \[ y = 0 \]
38. \[ y = 2, \, y = -2 \]
39. \[ y = 1, \, y = -1 \]
40. \[ \text{no tiene} \]
41. \[ y = 0 \]
42. \[ x = -4, \, x = 4, \, y = -2 \]
43. \[ x = 1, \, y = 2, \, y = -2 \]
44. \[ x = -\sqrt{2}, \, x = \sqrt{2}, \, y = 1, \, y = -1 \]

En los problemas del 1 al 9, calcular: \(\lim_{x\to +\infty} f(x)\) y \(\lim_{x\to -\infty} f(x)\)

1. \[ f(x) = \frac{1}{x^2} \]
2. \[ f(x) = \frac{-1}{x^3} \]
3. \[ f(x) = \frac{x + 2}{x – 3} \]
4. \[ f(x) = \frac{x^2}{x + 2} \]
5. \[ f(x) = \frac{x^3 – 8}{2x^3 – 3x^2 + 1} \]
6. \[ f(x) = x^5 – 4x^4 \]
7. \[ f(x) = -2x^6 + 5x^5 \]
8. \[ f(x) = \frac{x + 1}{x} \]
9. \[ f(x) = x^2 – \frac{1}{x} \]

En los problemas del 10 al 31, calcular el límite indicado.

10. \[ \lim_{x\to +\infty} (x + \sqrt{x}) \]
11. \[ \lim_{x\to +\infty} (x – \sqrt{x}) \]
12. \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x + 1}} \]
13. \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x} + 1}{x + 1} \]
14. \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x} – 1} \]
15. \[ \lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt[3]{-8x^3 + x + 1}}{x – 1} \]
16. \[ \lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x + 1} – \sqrt{x}) \]
17. \[ \lim_{x\to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} – x) \]
18. \[ \lim_{x\to +\infty} x(\sqrt{x^2 + 5} – x) \]
19. \[ \lim_{x\to +\infty} (x + \sqrt[3]{1 – x^3}) \]
20. \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]
21. \[ \lim_{x\to -\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]
22. \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} \]
23. \[ \lim_{x\to +\infty} x^{-1/2} \operatorname{sen} x \]
24. \[ \lim_{x\to +\infty} \operatorname{sen} \left(\frac{1}{x} + \frac{\pi}{6}\right) \]
25. \[ \lim_{x\to +\infty} (\operatorname{sen} \sqrt{x + 2} – \operatorname{sen} \sqrt{x}) \]
26. \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{e^{2x}}{e^{2x} + 1} \]
27. \[ \lim_{x\to -\infty} \frac{e^{3x} – e^{-3x}}{e^{3x} + e^{-3x}} \]
28. \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{10^x}{10^x + 1} \]
29. \[ \lim_{x\to +\infty} \left(2^{-0.6x} + \frac{1}{x}\right) \]
30. \[ \lim_{x\to +\infty} \ln(1 + e^{-x^2}) \]
31. \[ \lim_{x\to +\infty} [\ln(2 + x) – \ln(1 + x)] \]

32. Dada la función racional \( f(x) = \frac{a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0}{b_m x^m + \dots + b_1 x + b_0}, \; a_n \neq 0 \) y \( b_m \neq 0 \):

    1. si \( n = m \), probar que: \( \lim_{x\to \pm\infty} f(x) = \frac{a_n}{b_m} \)
    2. si \( n < m \), probar que: \( \lim_{x\to \pm\infty} f(x) = 0 \)
    3. si \( n > m \), probar que: \[ \lim_{x\to +\infty} f(x) = \begin{cases} +\infty, & \text{si } \frac{a_n}{b_m} > 0 \\ -\infty, & \text{si } \frac{a_n}{b_m} < 0 \end{cases} \]
33. Dar una definición rigurosa de:

    a. \( \lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty \)

    b. \( \lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty \)

    c. \( \lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty \)

    d. \( \lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty \)
34. Probar que todo polinomio de grado impar tiene una raíz (real).
    Sugerencia: Hallar los límites en \( +\infty \) y en \( -\infty \).

En los problemas del 35 al 41, hallar las asíntotas horizontales del gráfico de la función dada.

35. \[ f(x) = \frac{1}{x – 1} \]
36. \[ g(x) = \frac{1}{x(x + 2)} \]
37. \[ g(x) = \frac{x}{4x^2 – 1} \]
38. \[ f(x) = \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]
39. \[ g(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 – 1}} \]
40. \[ h(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 – 1}} \]
41. \[ f(x) = \frac{\operatorname{sen} x}{x} \]

En los problemas del 42 al 44, hallar las asíntotas verticales y horizontales del gráfico de la ecuación dada.

42. \[ 2x^2 + yx^2 = 16y \]
43. \[ (y^2 – 4)(x – 1) = 8 \]
44. \[ x^2y^2 = 2y^2 + x^2 + 1 \]