2. \[ \frac{1}{2} \]
4. \[ 0, \text{ esencial} \]
5. \[ -2, \text{ esencial} \]
6. \[ 2 \text{ y } -2, \text{ esenciales} \]
7. \[ 5, \text{ esencial} \]
8. \[ 3 \text{ y } -8, \text{ esenciales} \]
9. \[ 2, \text{ esencial} \]
10. \[ 3, \text{ esencial} \]
11. \[ 1, \text{ esencial} \]
12. \[ 3 \text{ y } 5 \]
13. \[ 4 \]
14. \[ 2 \]
15. \[ -1, 2 \]
16. \[ a = 1 \text{ y } b = -1 \]
17. \[ a = \frac{9}{\pi} \text{ y } b = -\frac{11}{4} \]
18. \[ a = -1 \text{ y } b = 1 \]
19. \[ a = b, \, b \text{ cualquiera} \]
20. \[ \left\{ n + \frac{1}{2}, \, n \text{ un entero} \right\} \]
21. \[ \{ 4n, \, n \text{ un entero} \} \]
22. \[ [0, 1) \cup \mathbb{Z} \]
23. \[ \{ 0 \} \]
24. \[ \mathbb{Z} \]
25. \[ \mathbb{R} \]
26. \[ 1.5 \]
27. \[ -1.9 \]
28. \[ 0.7 \]

1. Probar que la siguiente función es continua en 2: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2}, & \text{si } x \neq 2 \\ 4, & \text{si } x = 2 \end{cases} \]
2. Sea \( g(x) = \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \). Definir \( g(0) \) para que la función \( g \) sea continua en 0.
3. Probar que la siguiente función es discontinua en el punto 3, y que 3 es el único punto de discontinuidad: \[ g(x) = \begin{cases} x^2 – 2x + 2, & \text{si } x 3 \end{cases} \]

En los problemas del 4 al 11, hallar los puntos de discontinuidad de las funciones dadas, indicando el tipo de discontinuidad.

4. \[ f(x) = \frac{1}{x} \]
5. \[ g(x) = \frac{1}{x+2} \]
6. \[ h(x) = \frac{1}{x^2-4} \]
7. \[ f(x) = \frac{x-1}{x-5} \]
8. \[ g(x) = \frac{x+2}{(x-3)(x+8)} \]
9. \[ h(x) = \frac{x+3}{\sqrt{x-2}} \]
10. \[ f(x) = \frac{x^2-9}{|x-3|} \]
11. \[ g(x) = \frac{|x-1|}{(x-1)^3} \]

En los problemas del 12 al 15, graficar la función dada y localizar los puntos de discontinuidad mirando el gráfico.

12. \[ f(x) = \begin{cases} -2, & \text{si } x < 3 \\ 1, & \text{si } 3 \le x < 5 \\ 4, & \text{si } x \ge 5 \end{cases} \]
13. \[ g(x) = \begin{cases} 3x+1, & \text{si } x < -2 \\ 2x-1, & \text{si } -2 \le x < 4 \\ -\frac{x}{2}+2, & \text{si } x \ge 4 \end{cases} \]
14. \[ h(x) = \begin{cases} -\frac{x^2}{2}+1, & \text{si } x < 2 \\ 2x-3, & \text{si } x \ge 2 \end{cases} \]
15. \[ f(x) = \begin{cases} -1, & \text{si } x \le -2 \\ \frac{1}{x+1}, & \text{si } -2 < x < 2 \\ 2x, & \text{si } x \ge 2 \end{cases} \]

En los problemas del 16 al 19, hallar los valores de a y b para que la función dada sea continua en su dominio.

16. \[ g(x) = \begin{cases} -2, & \text{si } x < -1 \\ ax+b, & \text{si } -1 \le x < 3 \\ 2, & \text{si } x \ge 3 \end{cases} \]
17. \[ h(x) = \begin{cases} -\operatorname{sen}^2 x, & \text{si } x \frac{\pi}{3} \end{cases} \]
18. \[ f(x) = \begin{cases} -2\operatorname{sen} x, & \text{si } x \le -\frac{\pi}{2} \\ a\operatorname{sen} x+b, & \text{si } -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x, & \text{si } x \ge \frac{\pi}{2} \end{cases} \]
19. \[ g(x) = \begin{cases} a – x^2\operatorname{sen} \frac{\pi}{x}, & \text{si } x \neq 0 \\ b, & \text{si } x = 0 \end{cases} \]

En los problemas del 20 al 25, hallar el conjunto de puntos donde la función dada es discontinua.

20. \[ f(x) = \left\lfloor x + \frac{1}{2} \right\rfloor \]
21. \[ g(x) = \left\lfloor \frac{x}{4} \right\rfloor \]
22. \[ h(x) = \frac{1}{\lfloor x \rfloor} \]
23. \[ g(x) = \lfloor \sqrt{1 – x^2} \rfloor \]
24. \( g(x) = 1 – x + \lfloor x \rfloor – \lfloor 1 – x \rfloor \)

    Sugerencia: \( g(x) = \begin{cases} 1 – x + 2n, & \text{si } n < x < n+1 \\ n, & \text{si } x = n \end{cases} \)
25. \( f(x) = \begin{cases} 0, & \text{si } x \text{ es racional} \\ 1, & \text{si } x \text{ es irracional} \end{cases} \)

    Sugerencia: En todo intervalo abierto siempre existe un racional y un irracional.

En los problemas del 26 al 28, probar que la ecuación dada tiene una raíz en el intervalo indicado. Aproximar la raíz con un error menor que 0.1.

26. \[ x^3 + 1 = 3x, \text{ en } [1, 2] \]
27. \[ 2x^3 – 3x^2 – 12x + 2 = 0, \text{ en } [-2, -1] \]
28. \[ \cos x = x, \text{ en } [0, 1] \]
29. Sea \( f \) una función tal que \( f(x+y) = f(x)f(y), \, \forall x \in \mathbb{R}, \, \forall y \in \mathbb{R} \).
    Si \( f \) es continua en 0, probar que \( f \) es continua en todo punto \( a \in \mathbb{R} \).