Cal Diferencial Sec. 1.5

Continuidad

1. Probar que la función $f$ es continua en 2.

   $$\begin{array}{r}f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{x^2-4}{x-2},\text{ si }x\ne 2\\ 4,\text{ si }x=2\end{array}\end{array}$$

2. Sea $g(x)=\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$. Definir $g(0)$ para que la función $g$ sea continua en 0.

3. Probar que la siguiente función es discontinua en el punto 3 y que 3 es el único punto de discontinuidad.

   $$g(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2-2x+2,\text{ si }x<3\\ 4,\text{ si }x=3\\ -x+8,\text{ si }x>3\end{array}$$

En los problemas del 4 al 11, hallar los puntos de discontinuidad de las funciones dadas, indicando el tipo de discontinuidad.

4. $$f(x)=\frac{1}{x}$$
5. $$g(x)=\frac{1}{x+2}$$
6. $$h(x)=\frac{1}{x^2-4}$$
7. $$f(x)=\frac{x-1}{x-5}$$
8. $$g(x)=\frac{x+2}{(x-3)(x+8)}$$
9. $$h(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x-2}}$$
10. $$f(x)=\frac{x^2-9}{\mid x-3\mid }$$
11. $$g(x)=\frac{\mid x-1\mid }{(x-1{)}^3}$$

En los problemas del 12 al 15, graficar la función dada y localizar, mirando el gráfico, los puntos de discontinuidad.

12. $$\begin{array}{r}f(x)=\{\begin{array}{l}-2,\text{ si }x<3\\ 1,\text{ si }3\le x<5\\ 4,\text{ si }x\ge 5\end{array}\end{array}$$
13. $$\begin{array}{r}g(x)=\{\begin{array}{l}3x+1,\text{ si }x<-2\\ 2x-1,\text{ si }-2\le x<4\\ -\frac{x}{2}+2,\text{ si }x\ge 4\end{array}\end{array}$$
14. $$\begin{array}{r}h(x)=\{\begin{array}{l}-\frac{x^2}{2}+1,\text{ si }x<2\\ 2x-3,\text{ si }x\ge 2\end{array}\end{array}$$
15. $$\begin{array}{r}f(x)=\{\begin{array}{l}-1,\text{ si }x\le -2\\ \frac{1}{x+1},\text{ si }-2<x<2\\ 2x,\text{ si }x\ge 2\end{array}\end{array}$$

En los problemas del 16 al 19, hallar $\mathit{a}$   y   $\mathit{b}$ para que la función dada sea continua en su dominio.

16. $$\begin{array}{r}g(x)=\{\begin{array}{l}-2,\text{ si }x<-1\\ ax+b,\text{ si }-1\le x<3\\ 2,\text{ si }x\ge 3\end{array}\end{array}$$
17. $$h(x)=\{\begin{array}{l}-{\text{ sen }}^{2}x,\text{ si }x<\frac{\pi }{4}\\ ax+b,\text{ si }\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{\pi }{3}\\ {\cos }^{2}x,\text{ si }x>\frac{\pi }{3}\end{array}$$
18. $$f(x)=\{\begin{array}{l}-2\text{ sen }x,\text{ si }x\le -\frac{\pi }{2}\\ a\text{ sen }x+b,\text{ si }-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}\\ \cos x,\text{ si }x\ge \frac{\pi }{2}\end{array}$$
    $$f(x)=\{\begin{array}{l}-2\text{ sen }x,\text{ si }x\le -\frac{\pi }{2}\\ a\text{ sen }x+b,\\ \text{si }-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}\\ \cos x,\text{ si }x\ge \frac{\pi }{2}\end{array}$$
19. $$\begin{array}{r}g(x)=\{\begin{array}{l}a-x^2\text{ sen }\frac{\pi }{x},\text{ si }x\ne 0\\ b,\text{ si }x=0\end{array}\end{array}$$

En los problemas del 20 al 25, hallar el conjunto de puntos donde la función dada es discontinua.

20. $$f(x)=\lfloor x+\frac{1}{2}\rfloor$$
21. $$g(x)=\lfloor x/4\rfloor$$
22. $$h(x)=\frac{1}{\lfloor x\rfloor }$$
23. $$g(x)=\lfloor \sqrt{1-x^2}\rfloor$$
24. $$g(x)=1-x+\lfloor x\rfloor -\lfloor 1-x\rfloor$$

    Sugerencia:   $g(x)=\{\begin{array}{l}1-x+2n,\text{ si }n<x<n+1\\ n,\text{ si }x=n\end{array}$

25. $$\begin{array}{r}f(x)=\{\begin{array}{l}0,\text{ si }x\text{ es racional}\\ 1,\text{ si }x\text{ es irracional}\end{array}\end{array}$$

    Sugerencia: En todo intervalo abierto siempre existe un racional y un irracional.

En los problemas del 26 al 28, probar que la ecuación dada tiene una raíz en el intervalo indicado. Aproximar la raíz con un error menor que 0.1.

26. $x^3+1=3x$,   en $[1,2]$

27. $2x^3-3x^2-12x+2=0$,   en $[-2,-1]$

28. $\cos x=x$   en $[0,1]$

29. Sea $f$ una función tal que:   $f(x+y)=f(x)f(y),\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }y\in \mathbb{R}$.

    Si $f$ es continua en 0, probar que $f$ es continua en todo punto $a\in \mathbb{R}$.