Cal Diferencial Sec. 1.5

Continuidad

1. Probar que la función \(f\) es continua en 2.

   \[ \begin{aligned}[t] f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2},\, \text{ si } x \neq 2 \\[.5em] 4, \hspace{1.8em} \text{ si } x = 2 \end{cases} \end{aligned} \]

2. Sea \(g(x) = \frac{ \sqrt{x+1} - 1 }{x} \). Definir \(g(0)\) para que la función \(g\) sea continua en 0.

3. Probar que la siguiente función es discontinua en el punto 3 y que 3 es el único punto de discontinuidad.

   \[ g(x) = \begin{cases} x^2 - 2x + 2,\, \text{ si } x < 3 \\[.5em] 4, \hspace{4.6em} \text{ si } x = 3 \\[.5em] -x+8, \hspace{2em} \text{ si } x > 3 \end{cases} \]

En los problemas del 4 al 11, hallar los puntos de discontinuidad de las funciones dadas, indicando el tipo de discontinuidad.

4. \[ f(x) = \frac{1}{x} \]
5. \[ g(x) = \frac{1}{x+2} \]
6. \[ h(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \]
7. \[ f(x) = \frac{x-1}{x-5} \]
8. \[ g(x) = \frac{x+2}{(x-3)(x+8)} \]
9. \[ h(x) = \frac{x+3}{\sqrt{x-2}} \]
10. \[ f(x) = \frac{x^2 - 9}{\mid x-3 \mid} \]
11. \[ g(x) = \frac{\mid x-1 \mid}{(x-1)^3} \]

En los problemas del 12 al 15, graficar la función dada y localizar, mirando el gráfico, los puntos de discontinuidad.

12. \[ \begin{aligned}[t] f(x) = \begin{cases} -2,\,\text{ si } x < 3 \\ 1, \hspace{1em} \text{ si } 3 \leq x < 5 \\ 4, \hspace{1em} \text{ si } x \geq 5 \end{cases} \end{aligned} \]
13. \[ \begin{aligned}[t] g(x) = \begin{cases} 3x+1,\;\text{ si } x < -2 \\ 2x-1,\; \text{ si } -2 \leq x < 4 \\ -\frac{x}{2}+2,\, \text{ si } x \geq 4 \end{cases} \end{aligned} \]
14. \[ \begin{aligned}[t] h(x) = \begin{cases} -\frac{x^2}{2}+1,\,\text{ si } x < 2 \\ 2x-3,\hspace{1em} \text{ si } x \geq 2 \end{cases} \end{aligned} \]
15. \[ \begin{aligned}[t] f(x) = \begin{cases} -1,\hspace{.5em}\text{ si } x \leq -2 \\ \frac{1}{x+1},\, \text{ si } -2 < x < 2 \\ 2x,\hspace{.8em} \text{ si } x \geq 2 \end{cases} \end{aligned} \]

En los problemas del 16 al 19, hallar \(\boldsymbol{a}\)   y   \(\boldsymbol{b}\) para que la función dada sea continua en su dominio.

16. \[ \begin{aligned}[t] g(x) = \begin{cases} -2,\hspace{1.4em}\text{ si } x < -1 \\ ax+b,\text{ si } -1 \leq x < 3 \\ 2,\hspace{2.2em} \text{ si } x \geq 3 \end{cases} \end{aligned} \]
17. \[ h(x) = \begin{cases} -\text{ sen }^2x,\text{ si } x < \frac{\pi}{4} \\ ax + b,\text{ si } \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{3} \\ \cos^2 x,\hspace{.9em} \text{ si } x > \frac{\pi}{3} \end{cases} \]
18. \[ f(x) = \begin{cases} -2\text{ sen } x,\hspace{1em}\text{ si } x \leq -\frac{\pi}{2} \\ a \text{ sen } x + b, \text{ si } -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x,\hspace{2.5em} \text{ si } x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases} \]
    \[ f(x) = \begin{cases} -2\text{ sen } x,\hspace{1em}\text{ si } x \leq -\frac{\pi}{2} \\ a \text{ sen } x + b, \\ \hspace{3em} \text{si } -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x,\hspace{2.5em} \text{ si } x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases} \]
19. \[ \begin{aligned}[t] g(x) = \begin{cases} a - x^2 \text{ sen }\frac{\pi}{x},\text{ si } x \neq 0 \\ b,\hspace{4.5em}\text{ si } x = 0 \end{cases} \end{aligned} \]

En los problemas del 20 al 25, hallar el conjunto de puntos donde la función dada es discontinua.

20. \[ f(x) = \lfloor{ x+ \frac{1}{2}}\rfloor \]
21. \[ g(x) = \lfloor x/4 \rfloor \]
22. \[ h(x) = \frac{1}{ \lfloor x \rfloor } \]
23. \[ g(x) = \lfloor \sqrt{1-x^2} \rfloor \]
24. \[ g(x) = 1 - x + \lfloor x \rfloor - \lfloor 1 - x \rfloor \]

    Sugerencia:   \(g(x) = \begin{cases} 1 - x + 2n, \text{ si } n < x < n + 1 \\[.5em] n, \hspace{4em} \text{ si } x = n \end{cases}\)

25. \[ \begin{aligned}[b] f(x) = \begin{cases} 0,\, \text{ si } x \text{ es racional} \\[.5em] 1,\, \text{ si } x \text{ es irracional} \end{cases} \end{aligned} \]

    Sugerencia: En todo intervalo abierto siempre existe un racional y un irracional.

En los problemas del 26 al 28, probar que la ecuación dada tiene una raíz en el intervalo indicado. Aproximar la raíz con un error menor que 0.1.

26. \(x^3 + 1 = 3x\),   en \([1, 2]\)

27. \(2x^3 - 3x^2 - 12x + 2 = 0\),   en \([-2, -1]\)

28. \(\cos x = x\)   en \([0, 1]\)

29. Sea \(f\) una función tal que:   \(f(x + y) = f(x)f(y),\,\forall\, x \in \mathbb{R},\,\forall\, y \in \mathbb{R}\).

    Si \(f\) es continua en 0, probar que \(f\) es continua en todo punto \(a \in \mathbb{R}\).