1. \( 10 \)
2. \( \frac{1}{2} \)
3. \( 0 \)
4. \( \frac{2}{3} \)
5. \( 6 \)
6. \( -10 \)
7. \( \frac{1}{4} \)
8. \( 12 \)
9. \( 27 \)
10. \( 12 \)
11. \( -\frac{7}{2} \)
12. \( -1 \)
13. \( 18 \)
14. \( 32 \)
15. \( 8 \)
16. \( \frac{1}{3} \)
17. \( 108 \)
18. \( 2\sqrt{2} \)
19. \( \frac{1}{2\sqrt{3}} \)
20. \( \frac{1}{4} \)
21. \( \frac{1}{4} \)
22. \( 0 \)
23. \( -\frac{1}{56} \)
24. \( 3 \)
25. \( \frac{3}{2} \)
26. \( 12 \)
27. \( \frac{1}{3} \)
28. \( \frac{2}{3} \)
29. \( \frac{3}{2} \)
30. \( 3 \)
31. \( \frac{4}{3} \)
32. \( \frac{m}{n} \)
33. \( \frac{1}{2} \)
34. \( \frac{3a^2}{a-1} \)
35. \( \frac{(a-b)\sqrt{c+d}}{(c-d)\sqrt{a+b}} \)

38. \( 0 \)
39. \( 0 \)
40. \( 1 \)
41. \( 2 \)
42. \( -3 \)
43. \( -2 \)
44. \( 0 \)
45. \( 1 \)
46. \( 0 \)
47. \( 12 \)
48. \( 13 \)
49. \( 3 \)
50. \( 3 \)
51. \( 1 \)
52. \( 0 \)
53. \( \frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}} \)
54. \( \frac{9}{2}\sqrt[6]{a^7} \)

55. a. \( 5 \) \(\quad\) b. \( 5 \) \(\quad\) c. \( 5 \)
56. a. \( 8 \) \(\quad\) b. \( 8 \) \(\quad\) c. \( 8 \)
57. a. \( -4 \) \(\quad\) b. no existe
58. \( f(x) = \begin{cases} 3, & \text{si } x \le 0 \\ \text{sen } \frac{\pi}{x}, & \text{si } x > 0 \end{cases} \)
59. a. \( f(x) = \frac{x}{|x|}, \, g(x) = -\frac{x}{|x|} \) en \( a=0 \)
    b. las mismas de (a)

En los problemas del 1 al 35, hallar el límite indicado.

1. \[ \lim_{x\to 2} \frac{x^2+6}{x^2-3} \]
2. \[ \lim_{y\to 0} \left[ \frac{y^2-2y+2}{y-4} + 1 \right] \]
3. \[ \lim_{x\to \sqrt{2}} \frac{x^2-2}{x^4+x+1} \]
4. \[ \lim_{x\to 1} \sqrt{\frac{2x^2+2}{8x^2+1}} \]
5. \[ \lim_{x\to 3} \frac{x^2-9}{x-3} \]
6. \[ \lim_{y\to -5} \frac{y^2-25}{y+5} \]
7. \[ \lim_{h\to 2} \frac{h-2}{h^2-4} \]
8. \[ \lim_{x\to 2} \frac{x^3-8}{x-2} \]
9. \[ \lim_{y\to -3} \frac{y^3+27}{y+3} \]
10. \[ \lim_{x\to 4} \frac{x^2+4x-32}{x-4} \]
11. \[ \lim_{x\to -1} \frac{\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x-3}{x+1} \]
12. \[ \lim_{x\to -2} \frac{\frac{1}{x+1}+1}{x+2} \]
13. \[ \lim_{x\to \frac{1}{2}} \frac{8x^3-1}{6x^2-5x+1} \]
14. \[ \lim_{x\to 2} \frac{x^4-16}{x-2} \]
15. \[ \lim_{x\to 8} \frac{16-x^{4/3}}{4-x^{2/3}} \]
16. \[ \lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{x^2+5}-3}{x^2-2x} \]
17. \[ \lim_{x\to 9} \frac{x^2-81}{\sqrt{x}-3} \]
18. \[ \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}} \]
19. \[ \lim_{y\to 0} \frac{\sqrt{y+3}-\sqrt{3}}{y} \]
20. \[ \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} \]
21. \[ \lim_{y\to 5} \frac{\sqrt{y-1}-2}{y-5} \]
22. \[ \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1+h^2}-1}{h} \]
23. \[ \lim_{x\to 7} \frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49} \]
24. \[ \lim_{x\to 1} \frac{x^2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \]
25. \[ \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}} \]
26. \[ \lim_{x\to 8} \frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2} \]
27. \[ \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt[3]{x^2+1}-1}{x^2} \]
28. \[ \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x} \]
29. \[ \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1} \]
30. \[ \lim_{x\to 64} \frac{\sqrt{x}-8}{\sqrt[3]{x}-4} \]
31. \[ \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[4]{x}-1} \]
32. \[ \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt[n]{x}-1}{\sqrt[m]{x}-1} \]
33. \[ \lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{6-x}-2}{\sqrt{3-x}-1} \]
34. \[ \lim_{x\to a} \frac{x^3-a^3}{x^2-ax-x+a} \]
35. \[ \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{ax+b}-\sqrt{bx+a}}{\sqrt{cx+d}-\sqrt{dx+c}} \]
36. \(\text{Si } g(x)=\frac{1}{x}, \, x \neq 0, \text{ probar que:}\) \[ \lim_{h\to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = -\frac{1}{x^2} \]
37. \(\text{Si } f(x)=\sqrt{x}, \, x > 0, \text{ probar que:}\) \[ \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

En los problemas del 38 al 54, hallar el límite indicado.

38. \[ \lim_{x\to 2^+} \frac{\sqrt{x-2}}{2x-1} \]
39. \[ \lim_{x\to 4^+} \frac{x-4}{\sqrt{x^2-16}} \]
40. \[ \lim_{x\to 2^-} \lfloor x \rfloor \]
41. \[ \lim_{x\to 2^+} \lfloor x \rfloor \]
42. \[ \lim_{x\to -2^-} \lfloor x \rfloor \]
43. \[ \lim_{x\to -2^+} \lfloor x \rfloor \]
44. \[ \lim_{x\to 0} x^2 \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor \]
45. \[ \lim_{x\to 2^-} (x – \lfloor x \rfloor) \]
46. \[ \lim_{x\to 2^+} (x – \lfloor x \rfloor) \]
47. \[ \lim_{x\to 3^-} \lfloor x^2+x+1 \rfloor \]
48. \[ \lim_{x\to 3^+} \lfloor x^2+x+1 \rfloor \]
49. \[ \lim_{x\to 3^-} (\lfloor x \rfloor + \lfloor 4-x \rfloor) \]
50. \[ \lim_{x\to 3^+} (\lfloor x \rfloor – \lfloor 4-x \rfloor) \]
51. \[ \lim_{x\to 4^+} \frac{x-4}{|x+4|} \]
52. \[ \lim_{x\to 1^+} \frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{4x+1}}{\sqrt{x-1}} \]
53. \[ \lim_{x\to 2^-} \frac{\sqrt{4-x^2}+2-x}{\sqrt{4-x^3/2} + \sqrt{2x-x^2}} \]
54. \[ \lim_{x\to a} \frac{x\sqrt{x}-a\sqrt{a}}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}} \]

55. \[ h(x) = \begin{cases} 2x+1, & \text{si } x \le 2 \\ x^2+1, & \text{si } x > 2 \end{cases} \]

    Hallar:
    a. \(\lim_{x\to 2^-} h(x)\)   b. \(\lim_{x\to 2^+} h(x)\)
    c. \(\lim_{x\to 2} h(x)\)
56. \[ f(x) = \begin{cases} x^3, & \text{si } x \le 2 \\ x^2+4, & \text{si } x > 2 \end{cases} \]

    Hallar:
    a. \(\lim_{x\to 2^-} f(x)\)   b. \(\lim_{x\to 2^+} f(x)\)
    c. \(\lim_{x\to 2} f(x)\)
57. \[ f(x) = \begin{cases} -4, & \text{si } x < -2 \\ \frac{x^2}{2}, & \text{si } -2 \le x < 2 \\ x-1, & \text{si } x \ge 2 \end{cases} \]

    Hallar:
    a. \(\lim_{x\to -2} f(x)\)   b. \(\lim_{x\to 2} f(x)\)
58. Hallar una función \(f\) tal que \(\lim_{x\to 0^-} f(x) = 3\) y que no exista \(\lim_{x\to 0^+} f(x)\).
59. Pruebe, con un contraejemplo, que las proposiciones a continuación son falsas:

    1. \( \text{Existe } \lim_{x\to a} [f(x) + g(x)] \Rightarrow \text{Existe } \lim_{x\to a} f(x) \text{ y existe } \lim_{x\to a} g(x) \)
    2. \( \text{Existe } \lim_{x\to a} [f(x)g(x)] \Rightarrow \text{Existe } \lim_{x\to a} f(x) \text{ y existe } \lim_{x\to a} g(x) \)
60. Probar que:

    \[ \text{Existe } \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} \text{ y } \lim_{x\to a} g(x) = 0 \Rightarrow \lim_{x\to a} f(x) = 0 \]

    De esta proposición se obtiene:

    \[ \lim_{x\to a} f(x) \neq 0 \text{ y } \lim_{x\to a} g(x) = 0 \Rightarrow \text{No existe } \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} \]