Racionalizar es eliminar los términos con radicales en el denominador. Para ello procedemos a multiplicar y a dividir la expresión original por otra expresión.
Esta nueva expresión variará dependiendo de la forma de la expresión original que queremos racionalizar.
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Si la expresión es de la forma:
\[ \frac{A}{\sqrt{a} - \sqrt{b} } \]Para racionalizar se multiplica y se divide por \( \left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \) de la siguiente manera:
\[ \begin{aligned} &\frac{A}{\sqrt{a} - \sqrt{b} } \\[1em] &\hspace{1em}= \frac{A}{ \sqrt{a} - \sqrt{b} } \times \frac{ \sqrt{a} + \sqrt{b} }{ \sqrt{a} + \sqrt{b} } \\[1em] &\hspace{1em}= \frac{A}{a - b} \left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} \frac{A}{\sqrt{a} - \sqrt{b} } &= \frac{A}{ \sqrt{a} - \sqrt{b} } \times \frac{ \sqrt{a} + \sqrt{b} }{ \sqrt{a} + \sqrt{b} } \\[1em] &= \frac{A}{a - b} \left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \end{aligned} \]Esta operacion está fundamentada en la fórmula 1 de los productos notables de factorización.
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Si la expresión es de la forma:
\[ \frac{A}{\sqrt{a} + \sqrt{b} } \]Para racionalizar se multiplica y se divide por \( \left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) \) de la siguiente manera:
\[ \begin{aligned} &\frac{A}{\sqrt{a} + \sqrt{b} } \\[1em] &\hspace{1em}= \frac{A}{ \sqrt{a} + \sqrt{b} } \times \frac{ \sqrt{a} - \sqrt{b} }{ \sqrt{a} - \sqrt{b} } \\[1em] &\hspace{1em}= \frac{A}{a - b} \left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} \frac{A}{\sqrt{a} + \sqrt{b} } &= \frac{A}{ \sqrt{a} + \sqrt{b} } \times \frac{ \sqrt{a} - \sqrt{b} }{ \sqrt{a} - \sqrt{b} } \\[1em] &= \frac{A}{a - b} \left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) \end{aligned} \]Esta operacion está fundamentada en la fórmula 1 de los productos notables de factorización.
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Si la expresión es de la forma:
\[ \frac{A}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} } \]Para racionalizar se multiplica y se divide por \( \left( \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2} \right) \) de la siguiente manera:
\[ \begin{aligned} &\frac{A}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} } \\[1em] &\hspace{1em}= \frac{A}{ \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} } \\[1em] &\hspace{2em} \times \frac{ \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2} }{ \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2} } \\[1em] &\hspace{1em}= \small{ \frac{A}{a - b} \left(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2} \right) } \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} \frac{A}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} } &= \frac{A}{ \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} } \times \frac{ \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2} }{ \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2} } \\[1em] &= \frac{A}{a - b} \left(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2} \right) \end{aligned} \]Esta operacion está fundamentada en la fórmula 2 de los productos notables de factorización.
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Si la expresión es de la forma:
\[ \frac{A}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} } \]Para racionalizar se multiplica y se divide por \( \left( \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2} \right) \) de la siguiente manera:
\[ \begin{aligned} &\frac{A}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} } \\[1em] &\hspace{1em}= \frac{A}{ \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} } \\[1em] &\hspace{2em} \times \frac{ \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2} }{ \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2} } \\[1em] &\hspace{1em}= \small{ \frac{A}{a + b} \left(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2} \right) } \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} \frac{A}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} } &= \frac{A}{ \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} } \times \frac{ \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2} }{ \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2} } \\[1em] &= \frac{A}{a + b} \left(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2} \right) \end{aligned} \]Esta operacion está fundamentada en la fórmula 3 de los productos notables de factorización.