Números Reales y Racionales

Los Números Racionales

Un conjunto de números muy conocido es el conunto de números enteros:

\[ \mathbb{Z} = \{ \ldots -4, -2, -1, \, 0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \ldots \} \]

Este contiene, como subconjunto, al conjunto de los números naturales:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}

Otra clase importante de números son los números racionales, a los que se les conoce comúnmente con el nomre de números fraccionarios o, simplemente fracciones. Un número racional es un cociente de dos números enteros, donde el denominador es siempre distinto de 0. Así, son numeros racionales los siguientes:

\frac{1}{2}, \frac{- 3}{5}, \frac{7}{- 2}, \frac{- 4}{- 9}, etc.

Todo número entero es un número racional. En efecto, es un racional con denominador la unidad. Así:

2 = \frac{2}{1}, - 5 = \frac{- 5}{1}, etc.

Es costumbre denotar al conjunto de los números racionales con \(\mathbb{Q}\). Esto es, el conjunto de los números racionales es:

Q = {\frac{a}{b} / a, b \in Z y b \neq 0}

\(\frac{a}{b}\) tal que \(a\) y \(b\) pertenecen a los números enteros, y \(b\) es diferente de cero

Propiedades de los Números Racionales

\[ \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b} \]

\[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \]

\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \]

\[ \left[ [ \frac{ \frac{a}{b} }{ \frac{c}{d} } \right. = \frac{ a \times d }{ c \times c } \]

Expresión decimal de un Racional

Todo número racional tiene una expresión decimal preiódica y, recíprocamente, toda expresión decimal periódica es un número racional. Así:

\[ \frac{1}{2} = 0.50000 \ldots \]

\[ \frac{2}{3} = 0.6666 \ldots \]

\[ \frac{11}{6} = 1.83333 \ldots \]

Para indicar la parte periódica de una expresión decimal, se acostumbra escribir del modo siguiente: \(\widehat{p}\), donde \(\widehat{p}\) es el período. Así:

\[ \frac{1}{2} = 0.\widehat{5} \]

\[ \frac{2}{3} = 0.\widehat{6} \]

\[ \frac{11}{6} = 1.8\widehat{3} \]

Se llama fracción generatriz de la expresión decimal periodica al racional que le corresponde.

¿Como hallar la fracción generatriz?

Caso 1. La expresión decimal es periódica pura: El período comienza inmediatamente despues de la coma decimal.

En el numerador se coloca la diferencia del número que se obtiene tomando la parte entera y el período, menos la parte entera. En el denominador se colocan tantos 9 como cifras tiene el período. Así:

\[ 2.363636 \ldots = 2.\widehat{36} = \frac{236 - 2}{99} = \frac{234}{99} = \frac{26}{11} \]

\[ \begin{aligned} 2.363636 \ldots &= 2.\widehat{36} \\[1em] &= \frac{236 - 2}{99} \\[1em] &= \frac{234}{99} \\[1em] &= \frac{26}{11} \end{aligned} \]

Caso 2. La expresión decimal es periódica mixta: Antes del período existen otras cifras, las que constituyen el anteperíodo

En el numerador se coloca la diferencia del número que se obtiene tomando la parte entera, el anteperíodo y el período, menos el número formado por la parte entera y el anteperíodo. En el denominador se colocan tantos 9 como cifras tiene el período, seguido de tantos 0 como cifras tiene el anteperíodo. Así:

\[ 1.2313131 = 1.2\widehat{31} = \frac{1231 - 12}{990} = \frac{1219}{990} \]

\[ \begin{aligned} 1.2313131 &= 1.2\widehat{31} \\[1em] &= \frac{1231 - 12}{990} \\[1em] &= \frac{1219}{990} \end{aligned} \]

Los Números Reales

Existen números que tienen una expresión decimal infinita no periódica. Así:

\[ 0.101001000100001 \ldots \]

\[ \sqrt{2} = 1.41415 \]

\[ \pi = 3.1459 \ldots \]

A estos números, cuya expresión decimal es no periódica, se les llama números irracionales. Denotaremos con \(\mathbb{I}\) al conjunto de números irracionales.

El conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales está formado por la unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales. Esto es:

\[ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \]

\(\mathbb{R}\) es igual a la unión de \(\mathbb{Q}\) e \(\mathbb{I}\)