Problemas Resueltos - Razonamiento matemático
Problema 144
Si las gráficas de las funciones \( f(x) = 3x^2 + 1 \) y \( g(x) = x + p \) tienen un solo punto común, ¿cual es el valor del parámetro \( p \)?
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\( \frac{12}{11} \)
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\( 1 \)
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\( \frac{11}{12} \)
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\( -1 \)
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\( -\frac{11}{12} \)
Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
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\( \frac{11}{12} \)
Los puntos de intersección de las gráficas de \( f(x) \) y \( g(x) \) se encuentran resolviendo la ecuación: \( f(x) = g(x) \). En nuestro caso,
\[ \begin{aligned} f(x) = g(x) &\Leftrightarrow 3x^2 + 1 = x + p \\ &\Leftrightarrow 3x^2 – x + 1- p = 0 \end{aligned} \]Las gráficas de \( f(x) \) y \( g(x) \) tienen un solo punto si la ecuación \( 3x^2 – x + 1 – p = 0 \) tiene una sola raíz.
Por la lección Funciones Cuadráticas, la ecuación de segundo grado \( ax^2 + bx + c = 0 \) tiene una sola raíz si su discriminante \( b^2 – 4ac \) es nulo.
En nuestro caso:
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\(a = 3\)
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\( b = -1 \)
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\( c = 1-p \)
Luego, las gráficas de \( f(x) \) y \( g(x) \) tienen un solo punto en común si: