Problemas Resueltos - Razonamiento matemático
Problema 137
Sean \( x \), \( y \) números enteros. Se dice que \( x \) es congruente con \( y \) módulo 3, si la diferencia es divisible entre 3. Esto se denota por \( x \cong y \; (3) \).
Si \( x \cong y \; (3) \) ¿cual de las siguientes relaciones son verdaderas?
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\( x + 1 \cong y - 1 \; (3) \)
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\( x + z \cong y - z \; (3) \)
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\( x + z \cong y + z \; (3) \)
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\( 2x \cong y + 2 \; (3) \)
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\( 3x \cong y \; (3) \)
Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
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\( x + z \cong y + z \; (3) \)
Nos afirman que \( x \cong y \; (3) \). Esto significa que se cumple que \( x – y \) es múltiplo de 3. Es decir:
\( \boldsymbol{(1)} \hspace{3em} x – y = 3n, \)
para algún entero \( n \)
Ahora chequeamos cada una de las 5 posibles respuestas:
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\( (x + 1) – (y – 1) = x – y + 2 = 3n + 2 \)
Esta expresión no es múltiplo de 3, por lo tanto es falso que \( x + 1 \cong y – 1 \; (3) \).
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\( (x + z) – (y – z) = x – y + 2z = 3n + 2z \)
Esta expresión no es múltiplo de 3, por lo tanto es falso que \( x + z \cong y – z \; (3) \).
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\( (x + z) – (y + z) = x – y = 3n \)
Esta expresión si es múltiplo de 3, por lo tanto es cierto que \( \boldsymbol{ x + z \cong y + z \; (3) } \).
Similarmente, se puede verificar que d y e son falsas. Por lo tanto, solo es cierta la opción c.