Cal. Diferencial Sec. 4.2

Teorema del valor medio

En los problemas del 1 al 4, verificar que la función dada satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo indicado. Hallar todos los puntos \(\boldsymbol{c}\) que satisfacen la conclusión del teorema.

1. \[ f(x) = x^3 - 4x, \; [0, \, 2] \]
2. \[ g(x) = \text{sen } x + \cos x - 1, \; [0, \, 2 \pi] \]
3. \[ h(x) = 8x^{2/3} - x^{5/3}, \; [0, \, 8] \]
4. \[ f(x) = \frac{1}{2} x - \sqrt{x}. \; [0, \, 4] \]

En los problemas del 5 al 10, verificar que la función dada satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo indicado. Hallar todos los puntos \(\boldsymbol{c}\) que satisfacen la conclusión del teorema.

5. \[ f(x) = \sqrt{1 - x^2}, \; [-1, \, 0] \]
6. \[ g(x) = \frac{1}{x} + x, \; [1, \, 2] \]
7. \[ h(x) = 2 + \sqrt[3]{x-1}, \; [1, \, 9] \]
8. \[ f(x) = \ln \left( 1 + x^2 \right), \; [0, \, 1] \]
9. \[ h(x) = \ln \cos x, \; \left[ 0, \, \frac{\pi}{3} \right] \]
10. \[ g(x) = \tan^{-1} x, \; [-1, \, 1] \]

11. Probar que la ecuación:   \(x^5 + 10x + 4 = 0\)   tiene exactamente una raíz real.

12. Si \(a > 0\), probar que la ecuación:   \(x^3 + ax - 1 = 0\)   tiene exactamente una raíz real.

13. Probar que \(x^4 + 4x + b = 0\) tiene, a lo más, dos raíces reales.

    Sugerencia: Si \(f(x) = x^4 + 4x + b\), ¿cuántas raíces tiene \(f'(x)= 0\)?.

14. Si \(a\)   y   \(b\) son constantes y \(n\) un natural, probar que la ecuación:

    \[ x^{2n+1} + ax + b = 0, \]

    tiene, a lo más, tres raíces reales.

15. Si \(a\)   y   \(b\) son constantes y \(n\) un natural, probar que la ecuación:

    \[ x^{2n} + ax + b = 0, \]

    tiene, a lo más, dos raíces reales.

    Sugerencia: Sea \(f(x) = x^{2n} + ax + b\), ¿cuántas raíces reales tiene \(f'(x) = 0\)?.

16. Probar que la ecuación:   \( 3 \tan x + x^2 = 2 \)   tiene exactamente una raíz en   \( \left[ 0, \, \frac{\pi}{4} \right]\).

17. Si \(P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)\),   probar que la ecuación \(P'(x) = 0\) tiene tres raíces reales.

18. Probar que un polinomio de grado 3 tiene a lo más 3 raíces reales.

    Sugerencia: Suponga que tiene 4 raíces y razone como en el problema resuelto 4.2.2.

19. Probar que un polinomio de grado \(n\) tiene a lo más \(n\) raíces reales.

    Sugerencia: Suponga que tiene \(n + 1\) raíces y razone como en el problema resuelto 4.2.3. No olvides usar inducción.

20. Si \(g(1) = 8\)   y   \(g'(x) \geq 3\) para todo \(x\), ¿cuál es el menor valor posible que puede tener \(g(5)\)?.

21. Sean \(a\)   y   \(b\) reales y \(n\) un natural tales que   \(0 < a < b\)   y   \(n > 1\). Probar que:

    \[ n a^{n-1}(b - a) < b^n - a^n < n b^{n-1} (b - a) \]
    \[ \begin{aligned} n a^{n-1}(b - a) &< b^n - a^n \\[.5em] &\hspace{2em}< n b^{n-1} (b - a) \end{aligned} \]

    Sugerencia: Aplicar el teorema del valor medio a \(f(x) = x^n\) en \([a, \, b]\).

22. Probar que   \(\mathrm{e}^x > 1 + x, \, \forall x > 0\).

23. Probar que:

    1. Para cualquier \(x > 1\) existe \(c \in (1, \, x)\) tal que:

       \[ \frac{ \sqrt{x} - 1 }{ x - 1 } = \frac{1}{ 2 \sqrt{c}} \]

    2. (Usando la parte a): \(\sqrt{x} < \frac{1}{2} + \frac{x}{2}\), para todo \(x > 1\)

    Sugerencia: Aplicar el teorema del valor medio a \(f(x) = \sqrt{x}\) en \([1, \, x]\).

24. Si \(g\) es impar y diferenciable en \(\mathbb{R}\), demostrar que para todo real \(a > 0\), existe \(c \in (-a, \ a)\) tal que \(g'(c) = \frac{g(a)}{a}\).

25. Usando el teorema del valor medio, probar que   \(\mid \text{ sen } x - \text{ sen } y \mid \leq \mid x - y \mid\).

26. Usando el teorema del valor medio, probar que:

    \[ \mid \tan^{-1}x - \tan^{-1} y \mid \leq \mid x - y \mid \]

27. Probar que:   \(\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}\).

28. Probar que:   \(2 \text{ sen}^{-1} x = \cos^{-1} \left( 1 - 2x^2 \right)\), para \(x \geq 0\).

    Sugerencia:   Sea \(f(x) = 2 \text{ sen}^{-1} x - \cos^{-1} \left( 1 - 2x^2 \right)\),   y probar que \(f\) es constante \(f(x) = C\).

    Luego, mostrar que \(C = 0\).

29. Probar que:

    \[ 2 \tan^{-1} x + \text{ sen}^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) = \begin{cases} -\pi, \; \text{ si } x \leq -1 \\ \hspace{1em} \pi, \; \text{ si } x \geq 1 \end{cases} \]
    \[ \begin{aligned} &2 \tan^{-1} x \\[1em] &\hspace{2em}+ \text{ sen}^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) \\[1em] &\hspace{4em}= \begin{cases} -\pi, \; \text{ si } x \leq -1 \\ \hspace{1em} \pi, \; \text{ si } x \geq 1 \end{cases} \end{aligned} \]

En los problemas del 30 al 32, verificar que la función dada satisface las hipótesis del teorema del valor medio de Cauchy en el intervalo indicado. Hallar los puntos \(\boldsymbol{c}\) que satisfacen la conclusión del teorema.

30. \[ f(x) = \text{ sen } x, \; g(x) = \cos x \; \text{ en } \; \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] \]
    \[ \begin{aligned} f(x) &= \text{ sen } x, \\[.5em] g(x)&= \cos x, \\[.5em] &\hspace{4em} \text{ en } \, \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] \end{aligned} \]
31. \[ f(x) = \ln x, \; g(x) = \frac{1}{x}, \; \text{ en } \, [1, \, \mathrm{e}] \]
32. \[ f(x) = \mathrm{e}^x, \; g(x) = \mathrm{e}^{-x}, \; \text{ en } \, [0, \, 1] \]