Cal. Diferencial Sec. 3.4

Derivadas de orden superior, velocidad y aceleración

1. \[ y = \sqrt{b^2 - x^2} \]
2. \[ y = \ln \sqrt[3]{ 1 + x^2 } \]
3. \[ y = \left( 1 + x^2 \right) \tan^{-1} x \]
4. \[ y = \sqrt{1 - x^2} \text{ sen}^{-1} x \]
5. \[ y = \mathrm{e}^{ \sqrt{x} } \]
6. \[ y = \left( \text{ sen}^{-1} x \right)^{2} \]

En los problemas del 7 al 14 hallar las derivadas de segundo y tercer orden.

7. \[ y = x^5 - 4x^3 - 2x + 2 \]
8. \[ z = \frac{1}{4} x^8 - \frac{1}{3} x^6 - \frac{1}{2} x^2 \]
9. \[ f(x) = (x - 1)^4 \]
10. \[ g(x) = \left( x^2 + 1 \right)^3 \]
11. \[ y = \sqrt{x} \]
12. \[ h(x) = \frac{x}{2 + x} \]
13. \[ y = x \text{ sen } x \]
14. \[ y = x^3 \mathrm{e}^{2x} \]

En los problemas del 15 al 20 hallar \(\boldsymbol{y''}\).

15. \[ xy= 1 \]
16. \[ y^2 = 4ax \]
17. \[ x^3 + y^3 = 1 \]
18. \[ x^2 = y^3 \]
19. \[ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 1 \]
20. \[ b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2, \; a \, \text{ y } \, b \; \text{ son constantes.} \]
    \[ \begin{aligned} &b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2, \\[1em] &\hspace{3em} a \, \text{ y } \, b \; \text{ son constantes.} \end{aligned} \]

21. Probar que la función \(y = x^4 + x^3\), satisface la ecuación:

    \[ 2xy' - x^2y'' = -4x^4 \]

22. Probar que la función \(y = \frac{1}{2} \left( x^2 + 2x + 2 \right)\) satisface la ecuación:

    \[ 2yy'' - 2y' = x^2 \]

23. Probar que la función \(y = \frac{x^4}{4} - \frac{a}{x} + b\), donde \(a\)   y   \(b\) son constantes, satisface la ecuación:

    \[ \frac{1}{6} x^4 y''' - x^3 y'' + 2x^2 y' = 5a \]

En los problemas del 24 al 38 hallar la derivada de orden \(\boldsymbol{n}\) de la función dada.

24. \[ y = x^n \]
25. \[ y = x^{n - 1} \]
26. \[ y = x^{n+1} \]
27. \[ y = ax^n \]
28. \[ y = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \]
    \[ \begin{aligned} &y = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} \\[1em] &\hspace{6em} + \ldots + a_1 x + a_0 \end{aligned} \]
29. \[ y = (ax + b)^n \]
30. \[ y = \frac{1}{x} \]
31. \[ y = \frac{1}{1-x} \]
32. \[ y = \frac{1}{x-a} \]
33. \[ y = \cos ax \]
34. \[ y = \text{ sen}^2 x \]
35. \[ y = \mathrm{e}^{ax} \]
36. \[ y = x \mathrm{e}^x \]
37. \[ y = x \ln x \]
38. \[ y = \ln (1 + x) \]

En los problemas del 39 al 42 hallar \(\boldsymbol{y''}\) para los valores indicados.

39. \[ y = \left( 2 - x^2 \right)^4; \; x=1 \]
40. \[ y = x\sqrt{x^2 + 3}; \; x=-1 \]
41. \[ y = \sqrt{x} + \frac{1}{ \sqrt{x} }; \; x=1 \]
42. \[ x^2 + 2y^2 = 6; \; x = 2, \, y = 1 \]

En los problemas 43 y 44 se da la función de posición, con las unidades en metros y segundos. Responder las siguientes preguntas:

1. ¿En qué instantes la velocidad es 0?

2. ¿En qué instantes la aceleración es 0?

3. ¿Cuándo el objeto se mueve a la derecha?

4. ¿Cuándo el objeto se mueve a la izquierda?

43. \[ s = t^3 - 3t^2 - 24t + 8 \]
44. \[ s = t^2 + \frac{54}{t} \]

En los problemas 45 y 46 se da la función de posición, con las unidades en metros y segundos. Hallar la aceleración en los puntos donde la velocidad es nula.

45. \[ s = \frac{5 + t^2}{ 2 + t } \]
46. \[ s = \sqrt{2t} + \frac{1}{ \sqrt{2t} } \]

47. Un objeto se mueve en línea recta de acuerdo a la función:

    \[ s = t^3 - 3t^2 - 24t + 8 \]

    Hallar su velocidad en los instantes donde la aceleración es nula.

48. Una roca es lanzada hacia arriba desde la parte superior de una torre. La posición de la roca después de \(t\) segundos es:

    \[ s = -16t^2 + 48t + 160\; \text{ pies} \]

    1. ¿Cuál es la altura de la torre?.

    2. ¿Cuál es la velocidad inicial de la roca?.

    3. ¿Cuándo alcanza la altura máxima?.

    4. ¿Cuándo alcanza el suelo?.

    5. ¿A qué velocidad alcanza el suelo?.

49. Si un proyectil es disparado desde el suelo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial \(v_0\), la altura del proyectil, después de \(t\) segundos, está dada por:

    \[ s = - \frac{1}{2} g t^2 + v_0 t \]

    1. Probar que el proyectil alcanza su máxima altura cuando \(t = v_0 / g\).

    2. Probar que la altura máxima es \(s = \frac{ {v_0}^2 }{ 2g }\).

50. ¿Con qué velocidad inicial \(v_0\) debe dispararse un proyectil desde el suelo verticalmente hacia arriba para que alcance una altura máxima de 705.6 metros?.

    Sugerencia: Ver el problema 49.

51. Desde lo alto de un acantilado es lanzada una piedra verticalmente hacia abajo, en dirección al mar, con una velocidad inicial \(v_0\). Si el sentido positivo es hacia abajo, la posición de la roca después de \(t\) segundos es \(s = 4.9 t^2 + v_0 t\) metros. La roca llega al agua después de 4 segundos y con una velocidad de \(58.8 \; m/seg\). Hallar la altura del acantilado.

52. Desde lo alto de un acantilado se dejan caer dos rocas (velocidad inicial nula), una tras otra con 3 segundos de diferencia. Probar que las rocas se separan con una velocidad de \(3g\) metros por segundo.