Derivadas de las funciones trigonométricas
En los problemas del 1 al 9 hallar la derivada de la función dada.
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\[ f(x) = 5 \text{ sen } x + 2 \cos x \]
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\[ g( \theta ) = \theta \cot \theta \]
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\[ y = \tan \alpha \text{ sen } \alpha \]
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\[ y = \tan x - \cot x \]
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\[ h(t) \frac{ \text{ sen } t }{ 1 + \cos t } \]
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\[ f(x) = \frac{\tan x}{x} \]
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\[ g(x) = \frac{1 - \cos x}{ 1 + \cos x } \]
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\[ y = \frac{ \text{ sen } t + \cos t }{ \text{ sen } t - \cos t } \]
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\[ y = \frac{ \tan x - 1 }{ \sec x } \]
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Si \(f(x) = \sec x - 2 \cos x\), hallar:
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La recta tangente al gráfico de \(f\) en el punto \(\left( \frac{\pi}{3}, \, 1 \right) \).
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La recta normal al gráfico de \(f\) en el punto \(\left( \frac{\pi}{3}, \, 1 \right) \).
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Si la recta tangente al gráfico de función \(f(x) = \text{ sen } x\) en el punto \((a,\, \text{ sen } a)\) pasa por el origen, probar que se cumple que \(\tan a = a\).
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Probar que \(D_x \cos x = - \text{ sen } x\).
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Probar que \(D_x \cot x = - \text{ cosec}^2 x\).
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Probar que \(D_x \text{ cosec } x = - \text{ cosec } x \cot x\).
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Respuestas
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\[ f'(x) = 5 \cos x – 2 \text{ sen } x \]
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\[ g'(\theta) = \cot \theta – \theta \text{ cosec}^2 \theta \]
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\[ y’ = \text{ sen } \alpha \left( 1 + \sec^2 \alpha \right) \]
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\[ y’ = \sec^2 x + \text{ cosec}^2 x \]
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\[ h'(t) = \frac{1}{ 1 + \cos t } \]
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\[ f'(x) = \frac{ x – \text{ sen } x \cos x }{ x^2 \cos^2 x } \]
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\[ g'(x) = \frac{ 2 \text{ sen } x }{ (1 + \cos x)^2 } \]
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\[ y’ = -\frac{2}{(\text{ sen } t \cos t)^2} \]
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\[ y’ = \text{ sen } x + \cos x \]
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\[ y – 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \pi – 1 = 0 \]
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\[ y + \frac{ \sqrt{3} }{9} x – \frac{\sqrt{3}}{27} \pi – 1 = 0 \]
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