Cal. Diferencial Sec. 1.6

Limites infinitos y asíntotas verticales

En los problemas del 1 al 9 calcular el límite por la derecha y el límite por la izquierda en cada punto de discontinuidad de las funciones indicadas.

1. \[ f(x) = \cfrac{1}{x-2} \]
2. \[ g(x) = \cfrac{1}{\mid x - 2 \mid} \]
3. \[ h(x) = \cfrac{1}{(x + 1)^2} \]
4. \[ f(x) = \cfrac{x}{x - 4} \]
5. \[ g(x) = \cfrac{x + 1}{x - 5} \]
6. \[ h(x) = \cfrac{1}{x(x + 2)} \]
7. \[ f(x) = \cfrac{x}{x^2 - 2x + 3} \]
8. \[ g(x) = \cfrac{x^2 + 4}{x^2 - 4} \]
9. \[ h(x) = x - \cfrac{1}{x} \]

En los problemas del 10 al 28 calcular el límite indicado.

10. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow 0^{+} } \frac{\lfloor x \rfloor}{x} \]
11. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow 0^{-} } \frac{\lfloor x \rfloor}{x} \]
12. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow (\pi / 2)^{-} } \sec x \]
13. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow (\pi / 2)^{+} } \sec x \]
14. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow (-3 \pi / 2)^{+} } \sec x \]
15. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow 1^{+} }\left( \frac{x - 1}{1 - \sqrt{2x - x^2}} \right) \]
16. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow 2^{+} }\left( \frac{x - 2}{\sqrt{4x - x^2} - 2} \right) \]
17. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow 2^{+} }\frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x - 2} \]
18. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow 0^{+} } \left[ \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right] \]
19. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow 2^{+} } \left[ \frac{1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x - 2} \right] \]
20. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow 1^{-} } \frac{ \lfloor x^2 \rfloor - 1 }{ x^2 - 1 } \]
21. \[ \lim\limits_{ y \rightarrow 1 } \left(\frac{1}{y-1} - \frac{3}{y^3 - 1} \right) \]
22. \[ \lim\limits_{ y \rightarrow 0 } \left( \frac{1}{y \sqrt{y + 1}} - \frac{1}{y} \right) \]
23. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow 0^{-} } \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\mid x \mid} \right) \]
24. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow 0^{+} } \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\mid x \mid} \right) \]
25. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow 0^{+} } x \text{ cosec } (x/2) \]
26. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow 0^{+} } \left( \frac{1}{x} - \frac{\cos^2 x}{x} \right) \]
27. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow (\pi / 2)^{+} } \left( \frac{\tan x}{ \sqrt[3]{(1 - \cos x)^2}} \right) \]
28. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow 0^{+} } \left( \frac{1 - \cos x}{ \tan^3 x - \text{sen}^3 x} \right) \]

En los problemas del 29 al 32, hallar las asíntotas verticales a la gráfica de la función dada.

29. \[ y = \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x} \]
30. \[ y = \frac{x}{4x^2 - 1} \]
31. \[ \frac{x}{ \sqrt{x^2 - 1}} \]
32. \[ y = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 1}} \]

33. Demostrar que las rectas \(x = (2n + 1)\frac{\pi}{2}\), donde \(n\) es un entero, son asíntotas verticales de la gráfica de   \(y = \tan x\).